5岐阜大学 2007年 数学 第5問解答・解説

(1) 変換条件を成分で書くと $$a+b=0,\quad c+d=2,\quad -a+b=-1,\quad -c+d=0.$$ これを解いて $$\displaystyle \boxed{A=\begin{pmatrix}\frac12&-\frac12\\1&1\end{pmatrix}}.$$

(2) 成分を交換すると $$\displaystyle B=\begin{pmatrix}\frac12&1\\-\frac12&1\end{pmatrix},\qquad AB=D=\begin{pmatrix}\frac12&0\\0&2\end{pmatrix}.$$ $H^2=D$ なら、行列を掛ける順を変えても $HD=H(H^2)=H^3=(H^2)H=DH$ である。$H=\begin{pmatrix}u&v\\w&z\end{pmatrix}$ とおき、$HD=DH$ の非対角成分を比べると $$\displaystyle 2v=\frac12v,\qquad \frac12w=2w,$$ ゆえに $v=w=0$。対角成分を $H^2=D$ に代入すると $u^2=1/2,\ z^2=2$。したがって $$\boxed{H=\operatorname{diag}(\varepsilon/\sqrt2,\eta\sqrt2)\quad(\varepsilon,\eta\text{ はそれぞれ }-1\text{ または }1)}.$$

(3) この $H$ に対し $A=HU$ となるには $U=H^{-1}A$ でなければならない。 $$\displaystyle U=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}\varepsilon&-\varepsilon\\\eta&\eta\end{pmatrix}.$$ 回転行列の成分と比べると $\cos\theta=\sin\theta=\varepsilon/\sqrt2=\eta/\sqrt2$。$0\le\theta\le\pi$ では $\sin\theta\ge0$ なので $\varepsilon=\eta=1$、$\theta=\pi/4$。よって $$\boxed{H=\begin{pmatrix}1/\sqrt2&0\\0&\sqrt2\end{pmatrix},\qquad\theta=\pi/4}.$$