1岐阜大学 2007年 数学 第1問解答・解説

大問1

(1)

$\tan\theta$ および $1/\tan\theta$ が定義されるので $\sin\theta\cos\theta\ne0$ である。第1式を二乗すると $$a^2=(\sin\theta+\cos\theta)^2=1+2\sin\theta\cos\theta.$$ また $$\displaystyle b=\tan\theta+\frac1{\tan\theta} =\frac{\sin^2\theta+\cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta} =\frac1{\sin\theta\cos\theta}.$$ 従って $$\displaystyle \boxed{b=\frac{2}{a^2-1}}.$$ 実現可能な $a$ の範囲は $-\sqrt2\leq a\leq\sqrt2$ かつ $a\ne\pm1$ である。実際、$a=\sin\theta+\cos\theta$ より前半が必要で、$a=\pm1$ は $\sin\theta\cos\theta=0$ に当たり分母が定義されない。逆にこの範囲の $a$ では $2\sin\theta\cos\theta=a^2-1$ を満たす単位円上の点 $(\sin\theta,\cos\theta)$ が存在し、積が非零なので元の両式が定義される。

(2)

2式の和・差を取ると $$\displaystyle \tan\theta=\frac{a+b}{2},\qquad \sin\theta=\frac{a-b}{2}.$$ 恒等式 $\displaystyle \tan^2\theta=\dfrac{\sin^2\theta}{1-\sin^2\theta}$ に代入すると $$\displaystyle \frac{(a+b)^2}{4} =\frac{(a-b)^2/4}{1-(a-b)^2/4}.$$ 分母を払って整理すれば $$\boxed{(a+b)^2\{4-(a-b)^2\}=4(a-b)^2}.$$ これは必要条件である。また、この関係式を満たす実数 $a,b$ に対して $p=(a+b)/2$, $q=(a-b)/2$ とおけば $p^2(1-q^2)=q^2$ である。この式から $q^2<1$（$q^2\geq1$ なら左辺は非正、右辺は正）となり、$p^2=q^2/(1-q^2)$ を得る。$q\ne0$ の場合、$\sin\theta=q$ とし、$\cos\theta=q/p$ と選べば $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ かつ $\tan\theta=p$ である。$q=0$ なら式から $p=0$ なので $\theta=0$ とすればよい。従って条件は十分でもあり、求める関係式は上式である。