7自治医科大学 2007年 数学 第7問解答・解説

加法定理で展開すると $$f(x)=(3+a\cos\theta)\sin x+(4+a\sin\theta)\cos x$$ となる。これが任意の $x$ で $0$ だから、$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$ および $x=0$ を代入して $$3+a\cos\theta=0,\qquad 4+a\sin\theta=0$$ を得る。したがって $a\cos\theta=-3$、$a\sin\theta=-4$ である。ここから $$a^2=(a\cos\theta)^2+(a\sin\theta)^2=3^2+4^2=25$$ であり、$a>0$ より $a=5$ である。また $$a^2\sin\theta\cos\theta =(a\sin\theta)(a\cos\theta)=(-4)(-3)=12$$ だから求める値は $$\displaystyle \frac{a^2\sin\theta\cos\theta}{6}=\frac{12}{6}=2$$ である。検算として、$\displaystyle \cos\theta=-\frac35$、$\displaystyle \sin\theta=-\frac45$ とすれば、これらの二乗の和は $1$ なのでそのような角 $\theta$ は存在する。$a=5$ とすると加法定理から $$a\sin(x+\theta)=5\bigl(\sin x\cos\theta+\cos x\sin\theta\bigr)=-3\sin x-4\cos x$$ となり、確かにすべての $x$ で $f(x)=0$ となる。よって答えはサ（2）である。