3自治医科大学 2007年 数学 第3問解答・解説

$t>0$ より $1/t$ は定義される。三次の展開公式を用いると $$\displaystyle \left(t+\frac{1}{t}\right)^3=t^3+3t^2\cdot\frac{1}{t}+3t\cdot\frac{1}{t^2}+\frac{1}{t^3}=t^3+\frac{1}{t^3}+3\left(t+\frac{1}{t}\right)$$ である。したがって、与えられた条件から $$\displaystyle t^3+\frac{1}{t^3}=5^3-3\cdot5=110$$ となり、求める値は $$\displaystyle \frac{1}{22}\left(t^3+\frac{1}{t^3}\right)=\frac{110}{22}=5$$ である。

検算として、$u=1/t$ とおくと $t+u=5,\ tu=1$ であり、$$t^3+u^3=(t+u)(t^2-tu+u^2)=5\bigl((t+u)^2-3tu\bigr)=5(25-3)=110$$ となる。よって求める値は $5$ で、選択肢はハである。