1自治医科大学 2007年 数学 第1問解答・解説

対数の底の条件は $x>0, x\ne1$ であり、真数も正でなければならない。対数の定義より、与式は $$2x^3-2x^2-29x-42=x^3$$ と同値である。したがって $$x^3-2x^2-29x-42=0.$$ ここで $x=7$ を代入すると $343-98-203-42=0$ となるので、左辺を $x-7$ で割ると $$x^3-2x^2-29x-42=(x-7)(x^2+5x+6)=(x-7)(x+2)(x+3)$$ を得る。候補は $x=7,-2,-3$ であり、底の条件 $x>0, x\ne1$ を満たすのは $x=7$ だけである。さらに真数は $$2\cdot7^3-2\cdot7^2-29\cdot7-42=343=7^3>0$$ だから、実際に $\log_7 343=3$ となる。よって答えは $x=7$（選択肢ヤ）である。