24自治医科大学 2007年 数学 第24問解答・解説

曲線が点で接するためには、その点で関数値と導関数値がそれぞれ等しい。 まず $$C_1'(x)=2x-6,\qquad C_2'(x)=-2x+a,\qquad C_3'(x)=-2x+m$$ である。

点 $P(-1,17)$ での接線条件から $$-1-a+b=17,\qquad 2+a=2(-1)-6=-8$$ となる。よって $a=-10$、さらに $b=8$ であり、 $$C_2:y=-x^2-10x+8$$ を得る。

同様に、点 $Q(5,5)$ での接線条件から $$-25+5m+n=5,\qquad -10+m=2\cdot5-6=4$$ となる。よって $m=14$、さらに $n=-40$ であり、 $$C_3:y=-x^2+14x-40$$ を得る。

$C_2$ と $C_3$ の交点では $$-x^2-10x+8=-x^2+14x-40$$ だから、$x=2$。このとき $y=-2^2-10\cdot2+8=-16$ であり、$R(2,-16)$ である。

直線 $PQ$ の傾きは $$\displaystyle \frac{5-17}{5-(-1)}=-2$$ なので、その方程式は $y=-2x+15$ である。$R$ から $PQ$ に下ろした垂線の傾きは $\displaystyle \frac12$ だから、その方程式は $$\displaystyle y+16=\frac12(x-2),\quad\text{すなわち}\quad y=\frac{x}{2}-17$$ となる。これと $PQ$ との交点を $H$ とすると $$\displaystyle -2x+15=\frac{x}{2}-17$$ より $\displaystyle H\left(\frac{64}{5},-\frac{53}{5}\right)$。したがって $$\displaystyle PQ=\sqrt{6^2+(-12)^2}=6\sqrt5,\qquad RH=\sqrt{\left(\frac{54}{5}\right)^2+\left(\frac{27}{5}\right)^2} =\frac{27\sqrt5}{5}.$$ よって $$\displaystyle S=\frac12\cdot PQ\cdot RH =\frac12\cdot6\sqrt5\cdot\frac{27\sqrt5}{5}=81, \qquad \frac{S}{9}=9.$$ 選択肢では $9$ はワに対応する。