23自治医科大学 2007年 数学 第23問解答・解説

2つの曲線を $f(x)=-x^3+a$、$g(x)=-x^2+bx+c$ とおく。両曲線は点 $(-1,2)$ を通るから、 $$f(-1)=1+a=2,\qquad g(-1)=-1-b+c=2.$$ したがって $a=1$、$c-b=3$ である。

また、両曲線が点 $(-1,2)$ で接線を共有するので、その点での傾きが等しい。導関数は $$f'(x)=-3x^2,\qquad g'(x)=-2x+b$$ であるから、 $$f'(-1)=-3=g'(-1)=2+b$$ となり、$b=-5$ を得る。これを $c-b=3$ に代入すると $c=-2$ である。よって $$a-b-c=1-(-5)-(-2)=8.$$ 確認すると、$f(-1)=2$、$g(-1)=-1+5-2=2$ で両曲線は指定の点を通り、$f'(-1)=-3=g'(-1)$ で接線の傾きも一致する。したがって求める値は $8$ で、選択肢はラである。