22自治医科大学 2007年 数学 第22問解答・解説

関数を微分すると $$f'(x)=x^2-2ax=x(x-2a)$$ である。$a>0$ より $0<2a$。したがって、$x<0$ と $x>2a$ では $f'(x)>0$、$0<x<2a$ では $f'(x)<0$ である。よって $x=0$ で極大、$x=2a$ で極小となり、$p=0,\ q=2a$ である。

$f(p)=f(0)=4$ であり、 $$\displaystyle f(q)=f(2a)=\frac{1}{3}(2a)^3-a(2a)^2+4=4-\frac{4}{3}a^3$$ である。$a>0$ だから $\displaystyle f(p)-f(q)=\frac{4}{3}a^3>0$。したがって、 $$\displaystyle A=(0,4),\quad B=\left(0,4-\frac{4}{3}a^3\right),\quad C=\left(2a,4-\frac{4}{3}a^3\right),\quad D=(2a,4)$$ となり、四角形 $ABCD$ は横の長さ $2a$、縦の長さ $\displaystyle \frac{4}{3}a^3$ の長方形である。

正方形となる条件は二つの辺の長さが等しいことである。$a>0$ を用いて $$\displaystyle \frac{4}{3}a^3=2a\quad\text{すなわち}\quad a^2=\frac{3}{2}\quad\text{すなわち}\quad a=\sqrt{\frac{3}{2}}$$ を得る。このとき一辺は $2a$ なので、面積は $$(2a)^2=4a^2=6$$ である。検算として、長方形の縦横の積も $\displaystyle 2a\cdot\frac{4}{3}a^3=\frac{8}{3}a^4=\frac{8}{3}\left(\frac{3}{2}\right)^2=6$ となり一致する。