2熊本大学 2012年 数学 第2問解答・解説

（問1）変換を成分で表すと $$T(x,y)=(x-cy,cx+y)$$ である。$\boldsymbol{u}=(x,y)$、$\boldsymbol{v}=(p,q)$ とする。展開すると $$\begin{aligned} \lVert T(\boldsymbol{u})\rVert^2&=(x-cy)^2+(cx+y)^2=(1+c^2)(x^2+y^2),\\ T(\boldsymbol{u})\cdot T(\boldsymbol{v})&=(x-cy)(p-cq)+(cx+y)(cp+q)\\ &=(1+c^2)(xp+yq)=(1+c^2)\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}. \end{aligned}$$ したがって各辺の長さは $\sqrt{1+c^2}$ 倍になり、2辺のなす角は変わらない。三角形の面積は2辺の長さの積とその間の角の正弦との積の半分なので、面積比は $1+c^2$ である。よって $$1+c^2=k$$ から $$c=\pm\sqrt{k-1}\qquad(k\ge1)$$ を得る。特に $k=1$ のときは $c=0$ である。

（問2）楕円 $E$ 上の点を $(x,y)=(2u,v)$、ただし $u^2+v^2=1$ と表す。その像 $(x',y')$ は $$x'=2u-cv,\qquad y'=2cu+v$$ である。像が $E$ の周上または外部にあるための条件は $x'^2/4+y'^2-1\ge0$ である。$u^2+v^2=1$ を用いて整理すると $$\displaystyle \begin{aligned} \frac{x'^2}{4}+y'^2-1 &=\left(u-\frac{c}{2}v\right)^2+(2cu+v)^2-1\\ &=4c^2u^2+3cuv+\frac{c^2}{4}v^2. \end{aligned}$$ $c=0$ なら像は $E$ 自身なので条件を満たす。$c\ne0$ のときは平方完成して $$\displaystyle 4c^2u^2+3cuv+\frac{c^2}{4}v^2 =4c^2\left(u+\frac{3v}{8c}\right)^2+\frac{4c^2-9}{16}v^2.$$ したがって $\displaystyle c^2\ge\frac94$ なら、右辺はすべての $u,v$ について0以上である。逆に $\displaystyle 0<c^2<\frac94$ とする。このとき $$\displaystyle v=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{9}{64c^2}}},\qquad u=-\frac{3v}{8c}$$ と選べば $u^2+v^2=1$ であり、平方完成の右辺は $\displaystyle \frac{4c^2-9}{16}v^2<0$ となる。よってこの場合は条件を満たさない。以上から求める条件は $$\displaystyle c=0\qquad\text{または}\qquad |c|\ge\frac32$$ である。

（問1）変換後のベクトルの長さが一定比で伸び、内積も同じ係数で伸びるため角度が変わらず、面積比は$1+c^2$。（問2）楕円上の点を単位円に正規化し、外部条件の二次式を平方完成する。$c=0$と$c\ne0$を分けることで必要十分な条件を得る。