1東京大学 2005年 数学 第1問解答・解説

(1) 商の微分法より $$\displaystyle f'(x)=\frac{(1/x)x-\log x}{x^2} =\frac{1-\log x}{x^2}.$$ よって $n=1$ では $a_1=1,\ b_1=-1$ とすればよい。

ある $n\ge1$ について $$\displaystyle f^{(n)}(x)=\frac{a_n+b_n\log x}{x^{n+1}}$$ と表せると仮定する。商の微分法を用いると $$\displaystyle \begin{aligned} f^{(n+1)}(x) &=\frac{\dfrac{b_n}{x}x^{n+1}-(a_n+b_n\log x)(n+1)x^n}{x^{2n+2}}\\ &=\frac{b_n-(n+1)a_n-(n+1)b_n\log x}{x^{n+2}}. \end{aligned}$$ したがって $$a_{n+1}=b_n-(n+1)a_n,\qquad b_{n+1}=-(n+1)b_n.$$ これにより数学的帰納法で、すべての $n\ge1$ に対して所定の形に表せる。

(2) $b_1=-1$ と $b_{n+1}=-(n+1)b_n$ から $$b_n=(-1)^n n!.$$ 次に $$\displaystyle c_n=\frac{a_n}{(-1)^n n!}$$ とおくと、係数の漸化式から $$\displaystyle c_{n+1} =\frac{(-1)^n n!-(n+1)a_n}{(-1)^{n+1}(n+1)n!} =c_n-\frac{1}{n+1}.$$ また $c_1=-1$ なので $$\displaystyle c_n=-1-\sum\limits _{k=2}^n\frac1k =-\sum\limits _{k=1}^n\frac1k =-h_n.$$ ゆえに $$a_n=(-1)^n n!c_n=(-1)^{n+1}n!h_n.$$ したがって $$\displaystyle f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^n n!(\log x-h_n)}{x^{n+1}}.$$