金沢大学 2005年数学第4問解答・解説

場合の数と確率数列

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1問題

金沢大学2005年度第4問

1個のさいころを振る試行をくり返す。n回の試行で少なくとも1回は1の目が出る確率を a_n とする。k = 1, 2, 3, …, n について，k回目の試行ではじめて1の目が出る確率を b_k とする。次の問いに答えよ。

(1) a_n を n を用いて表せ。

(2) M_n = (1/a_n) Σ_{k=1}^{n} k b_k とする。M_n を n を用いて表せ。

(3) (2) の M_n について，lim_{n→∞} M_n を求めよ。ただし，|r| < 1 のとき lim_{n→∞} n r^n = 0 が成り立つことを用いてもよい。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle a_n=1-\left(\frac56\right)^n$ 。(2) $\displaystyle M_n=\frac{6-(n+6)\left(\frac56\right)^n}{1-\left(\frac56\right)^n}$ 。(3) 極限は $6$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

各試行で1が出ない確率は $5/6$ であるから $\displaystyle a_n=1-\left(\frac56\right)^n.$

$p=1/6$ 、 $q=5/6$ とおくと、 $k$ 回目に初めて1が出る確率は $b_k=pq^{k-1}$ 。 $\displaystyle S_n=\sum\limits _{k=1}^n kq^{k-1}$ とおき、 $S_n-qS_n$ を計算すると $\displaystyle (1-q)S_n=1+q+\cdots+q^{n-1}-nq^n=\frac{1-q^n}{1-q}-nq^n.$ 従って $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^n kb_k=(1-q)S_n=6(1-q^n)-nq^n=6-(n+6)q^n,$ よって $\displaystyle M_n=\frac{6-(n+6)(5/6)^n}{1-(5/6)^n}.$

$0<q<1$ なので $q^n\to0$ かつ、問題文の許可する性質から $nq^n\to0$ 。これを代入すれば $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}M_n=6$ 。

この問題で使う考え方

余事象
初成功確率
有限等比級数

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