佐賀大学 2016年数学第1問解答・解説

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1問題

佐賀大学2016年度第1問

$\displaystyle 0<p<1$ とする。 $\displaystyle a_1=1,\quad a_2=2,\quad a_{n+2}=(1-p)a_{n+1}+pa_n\quad(n=1,2,3,\ldots)$ で定められる数列 $\displaystyle \{a_n\}$ に対して、次の問に答えよ。

(1) $\displaystyle b_n=a_{n+1}-a_n$ とおくとき、数列 $\displaystyle \{b_n\}$ の一般項を求めよ。

(2) 数列 $\displaystyle \{a_n\}$ の一般項を求めよ。

(3) 極限 $\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}a_n$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle b_n=(-p)^{n-1}$ 。
(2) $\displaystyle a_n=\frac{2+p-(-p)^{n-1}}{1+p}$ 。
(3) $\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}a_n=\frac{2+p}{1+p}$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 漸化式から $\displaystyle a_{n+2}-a_{n+1}=-p(a_{n+1}-a_n)$ 。 $\displaystyle b_1=1$ なので $\displaystyle b_n=(-p)^{n-1}$ 。 (2) $\displaystyle n\ge2$ では階差の和を取り、 $\displaystyle a_n=1+\sum\limits_{k=1}^{n-1}(-p)^{k-1}=1+\frac{1-(-p)^{n-1}}{1+p}=\frac{2+p-(-p)^{n-1}}{1+p}.$ この式は $\displaystyle n=1$ でも1となり、すべての自然数 $\displaystyle n$ に使える。 $\displaystyle n=2$ では2となることも確かめられる。 (3) $\displaystyle 0<p<1$ より $\displaystyle (-p)^{n-1}\to0$ 。したがって $\displaystyle \lim\limits a_n=\frac{2+p}{1+p}$ 。

この問題で使う考え方

階差数列
等比数列の和

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