5筑波大学 2003年 数学 第5問解答・解説

判定

・ 採用： (1) は原文の焦点と共有点から一意に定まり、旧 F18/B18 の式と一致する。

・ 条件付き採用： (2) の旧 F18/B18 の答え $4x^2-12y^2=5$ は、「$C_1$ と2本の漸近線を共有する」という意味なら正しい。

・ 要確認： 原文 p.5 は「$C_1$と漸近線を共有し」とだけ書き、共有するのが1本か2本かを明示していない。1本を共有する読みでも条件を満たし、旧答と異なる方程式を与える双曲線が作れるため、現行文面だけでは (2) は一意でない。

元の A 副本 A/quality-review.json は指定旧答の参照欠落を理由に BLOCKED で seal 済み。本稿はそれを上書きしない補足副本である。P/Vの判断を根拠にせず、原文 p.5 と改訂キューで指定された旧 F18/B18 のみを照合対象とした。ただし、探索出力で既存P成果の一部を誤って閲覧したため、本稿を完全に fresh な独立解答とは主張しない。範囲は audit.json に記録する。

原文確認と (1) $C_1$ を $y^2/a^2-x^2/b^2=1$ と置く。頂点が $(0,\pm1/2)$ なので $a=1/2$。焦点距離 $c=1$ より $a^2+b^2=c^2$、従って $b^2=3/4$ である。ゆえに $$\displaystyle C_1:\quad 4y^2-\frac43x^2=1.$$ $C_2$ を $x^2/A^2+y^2/B^2=1$ と置くと、共有点から $B=1/2$、また $A^2-B^2=1$ より $A^2=5/4$。従って $$\displaystyle C_2:\quad \frac45x^2+4y^2=1.$$ 2式を連立すると $x=0$, $y=\pm1/2$ となり、指定の2点だけである。

(2) 条件付き導出：2本の漸近線をともに共有 $C_1$ の漸近線は $y=\pm x/\sqrt3$。この2直線をともに漸近線とする原点中心の双曲線を $C_3:y^2-x^2/3=k$（$k\ne0$）と置く。$k=1/4$ は $C_1$ 自身なので除外する。$X=x^2$, $Y=y^2$ とすると、$C_2,C_3$ から $$\displaystyle X=\frac{15}{32}(1-4k),\qquad Y=\frac{5+12k}{32}.$$ $X,Y>0$ なら交点は4個。2点ちょうどとなる境界は $X=0$ または $Y=0$ である。前者は $k=1/4$ で除外、後者は $k=-5/12$, $X=5/4$。従ってこの解釈では $$\displaystyle C_3:\quad y^2-\frac{x^2}{3}=-\frac5{12},\qquad \boxed{4x^2-12y^2=5},$$ 共有点は $(\pm\sqrt5/2,0)$。旧 F18/B18 の回答はこの条件下で正しい。

一方の漸近線だけを共有する反例 $$\displaystyle r=\frac{-x+\sqrt3y}{2},\qquad s=\frac{\sqrt3x+y}{2},\qquad \lambda=\frac{2\sqrt2-\sqrt3}{8}$$ とおき、$C_3':rs=\lambda$ とする。$\lambda>0$ なので、$u=(r+s)/\sqrt2$, $v=(r-s)/\sqrt2$ とすれば $u^2-v^2=2\lambda$、すなわち非退化双曲線。漸近線は $r=0$（$y=x/\sqrt3$）と $s=0$（$y=-\sqrt3x$）であり、前者のみが $C_1$ の漸近線と共通である。

$C_2$ を $x=(\sqrt5/2)\cos t$, $y=(1/2)\sin t$ と表すと $$\displaystyle rs=-\frac{\sqrt3}{8}+\frac{-3\sqrt3\cos 2t+\sqrt5\sin 2t}{16}.$$ 後半の振幅は $\sqrt{(3\sqrt3)^2+(\sqrt5)^2}/16=\sqrt2/4$。従って最大値は $-\sqrt3/8+\sqrt2/4=\lambda$。最大となる $2t$ は法 $2\pi$ で一つなので、$0\le t<2\pi$ ではちょうど2点で最大を取り、$C_2,C_3'$ の共有点はちょうど2点となる。これは旧答と異なるが、一方の漸近線だけを共有するという読みでは原文条件を満たす。

従って (2) は「2本共有の解釈なら正答」と条件付け、原文の共有本数確認を要するタグを付す。原文の意味が確認されるまで一意解として採用しない。