筑波大学 2003年数学第1問解答・解説

指数関数・対数関数微分・積分の考え

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1問題

筑波大学2003年度第1問

実数全体で定義された微分可能な関数 $f(x)$ が, 次の2つの条件 (i), (ii) を満たしている。

(i) すべての x について, $f(x) > 0$ である。

(ii) すべての x, y について, $f(x+y)=f(x)f(y)e^{-xy}$ が成り立つ。

(1) $f(0)=1$ を示せ。

(2) $g(x) = \log f(x)$ とする。このとき, $g'(x) = f'(0) - x$ が成り立つことを示せ。

(3) $f'(0)=2$ となるような $f(x)$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

f(0)=1、g′(x)=f′(0)−x、 $\displaystyle f(x)=\exp\left(2x−\frac{x^2}{2}\right)$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

条件(ii)で $y=0$ とすると $f(x)=f(x)f(0)$ 。 $f(x)>0$ より $f(0)=1$ 。次に $g(x)=\log f(x)$ とおけば $g(x+y)=g(x)+g(y)−xy.$ 両辺を $y$ で微分し、 $y=0$ とすると $g'(x)=g'(0)−x$ 。連鎖律と $f(0)=1$ から $g'(0)=f'(0)$ なので、要求の関係を得る。 $f'(0)=2$ なら $g'(x)=2−x$ 。積分して $g(x)=2x−x^2/2+C$ 、 $g(0)=\log f(0)=0$ より $C=0$ 。したがって $\displaystyle f(x)=\exp\left(2x−\frac{x^2}{2}\right).$ これは正で微分可能で、指数部は $2(x+y)−(x+y)^2/2=(2x−x^2/2)+(2y−y^2/2)−xy$ を満たすから元の条件(ii)も成り立つ。

この問題で使う考え方

関数方程式への代入
対数を取る
変数について微分
初期値から積分定数を決定

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