2京都大学 2024年 数学 第2問解答・解説

$$\displaystyle w=z-(4+3i),\qquad u=\frac{x}{2},\qquad v=\frac{y-(8+6i)}{2}$$ とおくと、$w=u+v$、$|u|\le1$、$|v|=3/2$ である。三角不等式と逆三角不等式から $$\displaystyle |w|\le |u|+|v|\le\frac52, \qquad |w|\ge |v|-|u|\ge\frac12.$$ 従って、動く点は中心 $4+3i$、内半径 $1/2$、外半径 $5/2$ の円環内にある。逆に、$1/2\le|w|\le5/2$ を満たす任意の $w$ に対し、$w\ne0$ なので $$\displaystyle v=\frac32\frac{w}{|w|},\qquad u=w-v$$ と選べる。このとき $|v|=3/2$、$|u|=\bigl||w|-3/2\bigr|\le1$。よって $x=2u$、$y=8+6i+2v$ とすれば与えられた条件を満たし、$z=(x+y)/2=4+3i+w$ となる。したがって領域は $$\displaystyle \frac12\le |z-(4+3i)|\le\frac52$$ で表される閉円環である。境界を含むが円周自体の面積は $0$ なので、面積は $$\displaystyle \pi\left\{\left(\frac52\right)^2-\left(\frac12\right)^2\right\}=6\pi.$$