3京都大学 2024年 数学 第3問解答・解説

大問3

$O,A,B,C$ は同一平面上にないので、$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ は一次独立である。これらを座標軸の基底として $$O=(0,0,0),\quad A=(1,0,0),\quad B=(0,1,0),\quad C=(0,0,1)$$ とおく。この座標系では $$\displaystyle P=\left(\frac12,0,0\right),\quad Q=\left(\frac12,\frac12,0\right),\quad X=(0,0,x),\quad Y=(0,1-y,y).$$ 従って、直線 $PX$ および $QY$ の方向ベクトルはそれぞれ $$\displaystyle \boldsymbol u=\overrightarrow{PX}=\left(-\frac12,0,x\right),\qquad \boldsymbol v=\overrightarrow{QY}=\left(-\frac12,\frac12-y,y\right),$$ また $\displaystyle \overrightarrow{PQ}=(0,\frac12,0)$ である。

2直線が同一平面上にあるための必要十分条件は、この2方向ベクトルと2直線上の点を結ぶベクトルの混合積が0となることである。実際、$\boldsymbol u\times\boldsymbol v$ を計算すると $$\displaystyle \boldsymbol u\times\boldsymbol v= \left(-x\left(\frac12-y\right),\frac{y-x}{2},-\frac14+\frac y2\right),$$ したがって $$\displaystyle \overrightarrow{PQ}\mathbin{\cdot}(\boldsymbol u\times\boldsymbol v) =\frac{y-x}{4}.$$ ゆえに2直線が同一平面上にあるのは $x=y$ のときに限る。2直線が同一平面上にない場合、交わることも平行であることもなく、ねじれの位置にある。よって必要十分条件は $$\boxed{x\ne y}.$$