4岐阜大学 2025年 数学 第4問解答・解説

(1) $1/2=\cos(\pi/3)$、$\sqrt3/2=\sin(\pi/3)$ だから $\theta=\pi/3$。

(2),(3) 初期値は非零である。漸化式 $z_{n+2}\overline{z_{n+1}}=z_{n+1}\overline{z_n}$ より、非零性は次の項にも保たれる。そこで $r_n=z_{n+1}/z_n$ とおくと $$\displaystyle r_{n+1}=\frac{z_{n+2}}{z_{n+1}}=\frac{\overline{z_n}}{\overline{z_{n+1}}}=\frac1{\overline{r_n}}.$$ $r_1=z_2/z_1=e^{i\pi/3}$。もし $r_n=e^{i\pi/3}$ なら $r_{n+1}=1/e^{-i\pi/3}=e^{i\pi/3}$ なので、帰納法により全ての $n$ で $r_n=e^{i\pi/3}$。したがって $$z_n=z_1r_1r_2\cdots r_{n-1}=e^{i(n-1)\pi/3}.$$ これより $|z_n|=1$ かつ $$\displaystyle \frac{z_{n+1}}{z_n}=e^{i\pi/3}=\frac12+i\frac{\sqrt3}{2},$$ ゆえに $a_n=1/2,\ b_n=\sqrt3/2$。

(4) $y_n=\sin((n-1)\pi/3)$ は6項周期で、1周期の和は $$\displaystyle 0+\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt3}{2}+0-\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt3}{2}=0.$$ $100=16\cdot6+4$ であり、最後の4項の和は $\sqrt3$。よって求める和は $\sqrt3$。