1琉球大学 2001年 数学 第1問解答・解説

問1　二次方程式が実数解をもつ条件は判別式が0以上であることである。 $$\displaystyle D=(-2a)^2-4\left(a+\frac14\right)=4a^2-4a-1\geq0.$$ したがって、 $$\displaystyle a^2-a-\frac14\geq0.$$ 左辺の二次式の方程式の解は $\displaystyle a=\frac{1\pm\sqrt2}{2}$ であり、係数 $a^2$ の符号は正なので、不等式の解は $$\displaystyle a\leq\frac{1-\sqrt2}{2},\qquad a\geq\frac{1+\sqrt2}{2}$$ である。

問2　2解を $\alpha,\beta$ とする。「2つの解の差が1」は $|\alpha-\beta|=1$ を意味するので、$(\alpha-\beta)^2=1$ である。解と係数の関係より $\alpha+\beta=2a$、$\displaystyle \alpha\beta=a+\frac14$ だから、 $$(\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=4a^2-4a-1.$$ よって $4a^2-4a-1=1$、すなわち $2a^2-2a-1=0$ となる。これを解いて $$\displaystyle a=\frac{1-\sqrt3}{2},\qquad a=\frac{1+\sqrt3}{2}.$$ いずれも判別式は $1$ となるため実数解をもち、その差の絶対値は $1$ である。

問3　$y=x-1$ とおくと、$x>1$ は $y>0$ と同値である。元の方程式に $x=y+1$ を代入すると、 $$\displaystyle y^2+2(1-a)y+\frac54-a=0.$$ この二次方程式の2解がともに正であるための条件は、2解が実数で、和が正、積が正となることである（重解の場合も含む）。その判別式、解の和、解の積はそれぞれ $$\displaystyle 4a^2-4a-1,\qquad 2a-2,\qquad \frac54-a$$ である。したがって必要十分条件は $$\displaystyle 4a^2-4a-1\geq0,\qquad 2a-2>0,\qquad \frac54-a>0.$$ すなわち $\displaystyle a\leq\frac{1-\sqrt2}{2}$ または $\displaystyle a\geq\frac{1+\sqrt2}{2}$、かつ $a>1$、$\displaystyle a<\frac54$ である。これらを合わせると $$\displaystyle \frac{1+\sqrt2}{2}\leq a<\frac54.$$ 下端では重解 $y=a-1>0$ となるため含み、上端では一方の解が $y=0$ となるため含まない。