III鳥取大学 2002年 数学 第III問解答・解説

(1) 漸化式の両辺に $a_{n+1}=b_n+2a_n$, $a_{n+2}=b_{n+1}+2b_n+4a_n$ を代入すると、 $$(4n+6)(b_n+2a_n)=(n+1)(b_{n+1}+2b_n+4a_n)+4(n+2)a_n.$$ 両辺の $a_n$ の係数はともに $8n+12$ だから、 $$2(n+2)b_n=(n+1)b_{n+1}.$$ また $b_1=a_2-2a_1=4$ である。したがって $n\geq 1$ に対し、 $$\displaystyle b_n=4\prod\limits _{k=1}^{n-1}\frac{2(k+2)}{k+1}=4\cdot 2^{n-1}\cdot\frac{n+1}{2}=(n+1)2^n.$$

(2) $c_n=a_n/2^{n-1}$ とおくと、(1)より $$\displaystyle c_{n+1}-c_n=\frac{a_{n+1}-2a_n}{2^n}=\frac{b_n}{2^n}=n+1.$$ さらに $c_1=1$ なので、 $$\displaystyle c_n=1+\sum\limits _{k=1}^{n-1}(k+1)=1+\frac{(n-1)(n+2)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}.$$ よって $$a_n=2^{n-1}c_n=n(n+1)2^{n-2}.$$

(3) $T_n=(n^2-n+2)2^{n-1}-1$ とおくと、$T_1=1=a_1$。また $n\geq 2$ で $$T_n-T_{n-1}=2^{n-2}\{2(n^2-n+2)-(n^2-3n+4)\}=n(n+1)2^{n-2}=a_n.$$ したがって $S_n=a_1+\cdots+a_n=T_n$ であり、 $$S_n=(n^2-n+2)2^{n-1}-1.$$