4秋田大学 2007年 数学 第4問解答・解説

% 図には TikZ を使用（本文書のプリアンブルに

\usepackage{tikz}

を追加）。 解答（図示補充版） (i) 弦 $AB$ の長さは $2\sqrt3$ なので，これを見込む円の半径は $$\displaystyle \frac{AB}{2\sin60^\circ}=2.$$ 中心は $AB$ の垂直二等分線 $x=0$ 上にある。中心が $(0,1)$ の円の上側の大弧が $60^\circ$ の軌跡，中心が $(0,-1)$ の円の上側の小弧が $120^\circ$ の軌跡だから $$C_1:x^2+(y-1)^2=4,\qquad C_2:x^2+(y+1)^2=4$$ （いずれも $y>0$ の部分）である。$D_1,D_2$ をそれぞれ中心 $(0,1),(0,-1)$，半径 $2$ の円板とすると，領域 $S$ は円板 $D_1$ から円板 $D_2$ の内部を除いた部分である（$D_2$ の円周は除かない）。図で $C_1$ は $x=\pm\sqrt3$ の先まで続き，左右端は $x=\pm2$ となる。

図は $C_1$ の左右の枝が $A,B$ より外へ伸びて $x=\pm2$ に達することも示す。

(ii) $0\le y\le1$ では回転断面は半径 $r_1=\sqrt{4-(y-1)^2}$ と $r_2=\sqrt{4-(y+1)^2}$ の円環，$1\le y\le3$ では半径 $r_1$ の円である。したがって $$\displaystyle V_y=\pi\int_0^1(r_1^2-r_2^2)\,dy+\pi\int_1^3r_1^2\,dy =\pi\int_0^1 4y\,dy+\pi\int_1^3\bigl(4-(y-1)^2\bigr)\,dy =\boxed{\frac{22\pi}{3}}.$$

(iii) $s=\sqrt{4-x^2}$ とおく。$|x|\le2$ における縦断面の上端は $1+s$，下端は $|1-s|$ である（$|x|\le\sqrt3$ では $C_2$，$\sqrt3<|x|\le2$ では $C_1$ の下側の枝）。よって $$\displaystyle V_x=\pi\int_{-2}^2\bigl((1+s)^2-(1-s)^2\bigr)\,dx =4\pi\int_{-2}^2\sqrt{4-x^2}\,dx =4\pi\cdot2\pi=\boxed{8\pi^2}.$$