3広島大学 2006年 数学 第3問解答・解説

解答

正方形の一辺を$3$とし、 $$O=(0,0),\quad A=(3,0),\quad B=(3,3),\quad C=(0,3)$$ と座標を置く。このとき$AC$は$x+y=3$であり、$A$に近い三等分点は$P=(2,1)$、$C$に近い三等分点は$Q=(1,2)$である。したがって $$OA=3,\quad OP=OQ=\sqrt5,\quad AP=PQ=\sqrt2.$$

(1) 余弦定理より $$\displaystyle \cos\alpha =\frac{OA^2+OP^2-AP^2}{2\,OA\,OP} =\frac{9+5-2}{6\sqrt5} =\frac{2}{\sqrt5},$$ $$\displaystyle \cos\beta =\frac{OP^2+OQ^2-PQ^2}{2\,OP\,OQ} =\frac{5+5-2}{10} =\frac45.$$

(2) $\tan\alpha=1/2$である。また、(1)と$\beta$が鋭角であることから$\sin\beta=3/5$、よって$\tan\beta=3/4$となる。さらに $$\displaystyle \frac12<\frac1{\sqrt3}<\frac34$$ である（左は$3<4$、右は$16<27$に同値）。$\tan(\pi/6)=1/\sqrt3$であり、$\alpha,\beta,\pi/6$はいずれも$(0,\pi/2)$にある。この範囲で正接は増加するから $$\displaystyle \alpha<\frac{\pi}{6}<\beta.$$

(3) $R$は線分$PQ$上にあるので、半直線$OR$は$OP$と$OQ$の間にある。したがって図の角の順序から $$\angle AOR=\angle AOP+\angle POR=2\alpha.$$ 倍角公式と$\tan\alpha=1/2$より $$\displaystyle \tan\angle AOR=\tan2\alpha =\frac{2(1/2)}{1-(1/2)^2} =\frac43.$$ よって$OR$は$y=4x/3$であり、$PQ$を含む直線$AC$（$x+y=3$）との交点は $$\displaystyle R=\left(\frac97,\frac{12}{7}\right).$$ $A$から$C$へ進む割合は$y/3=4/7$で、$P$の$1/3$と$Q$の$2/3$の間にあるため、この交点は確かに線分$PQ$上にある。ゆえに $$\displaystyle AR:RC=\frac47:\frac37=4:3.$$