信州大学 2007年数学第1問解答・解説

いろいろな式

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1問題

信州大学2007年度第1問

kを実数とし，2次方程式x^2−4x+k=0の解をα，βとする。ただし，重解の場合はα=βとする。(1) α^2+β^2を，kを用いて表せ。(2) α，βが実数解のとき，α^2+β^2の最小値を求めよ。また，このときのα，β，kを求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

(1) 解と係数の関係より $\alpha+\beta=4,\alpha\beta=k$ 。従って $\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=16-2k.$ (2) 実数解の条件は判別式 $16-4k\ge0$ 、すなわち $k\le4$ 。よって $\alpha^2+\beta^2=8+2(4-k)\ge8.$ 等号は $k=4$ のときで、このとき方程式は $(x-2)^2=0$ 。重解の規定から $\alpha=\beta=2$ であり、最小値は8。

この問題で使う考え方

解と係数
判別式

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