3信州大学 2007年 数学 第3問解答・解説

$y=f(x)$ とおくと、与式の左辺は $$y^2+2my-n^2-2mn=(y-n)(y+n+2m)$$ と因数分解できる。従って方程式は $$(f(x)-n)(f(x)+n+2m)=0,$$ すなわち $$x(x+m)(x^2+mx+2n+2m)=0.$$ 最初の二根0と $-m$ は異なる。二次因子の判別式は $$\Delta=m^2-8(n+m).$$ mは奇数なので $m^2\equiv1\pmod8$、従って $\Delta\equiv1\pmod8$ であり $\Delta\neq0$。二次因子は複素数範囲で相異なる二根をもつ。また、二次因子に $x=0$ または $x=-m$ を代入すると、いずれも $2n+2m>0$ なので、二根は0と $-m$ に重ならない。以上から複素数範囲で相異なる4根をもつ。

因数分解後、二次因子の判別式が奇数mの平方を8で見た剰余から1 mod 8であることを確認。二つの線形因子の根が二次因子の根でないことも代入で確認。