信州大学
2007年度の数学信州大学・全6問
- 1kを実数とし，2次方程式x²−4x+k=0の解をα，βとする。ただし，重解の場合はα=βとする。(1) α²+β²を，kを用いて表せ。(2) α，βが実数解のとき，α²+β²の最小値を求めよ。…
- 3m, n を自然数とし，m は奇数とする。f(x)=x²+mx+n とするとき，方程式 f(f(x))+m f(x)-n²-2mn-n=0 は，複素数の範囲で相異なる4つの解をもつことを示せ。
- 4a>0 とする。曲線 y=x² 上の点 A(a,a²) における接線をℓ1とし，点Aにおいてℓ1と垂直に交わる直線をℓ2とする。曲線 y=x² と直線ℓ2で囲まれる部分の面積をS1とし，直線ℓ…
- 5次の各数列anについて，極限 limn→∞(a2+a4+⋯+a2n)/(a1+a2+⋯+an) を調べよ。(1) an=crⁿ (c>0, r>0) (2) an=1/(n²+2n)
- 6aを実数とし，f(x)=1/(x²+ax+a)は，すべての実数xに対しf(x)>0とする。(1) aのとりうる値の範囲を求めよ。(2) 関数y=f(x)が最大値をとるときのxの値pを，aを用い…
- 7a,bが実数の範囲を動くとき，定積分 ∫−π^π(x−a sin x−b cos x)² dx の最小値を求めよ。また，そのときのa,bの値を求めよ。