8秋田大学 2017年 数学 第8問解答・解説

(i) $\rho=a^2+b^2$ とおく。線分 $NP$ 上の点は $(au,bu,2-2u)$ であり，球面条件は $u\{(\rho+4)u-4\}=0$。$N$ 以外では $u=4/(\rho+4)$ なので $$\displaystyle Q=\left(\frac{4a}{\rho+4},\frac{4b}{\rho+4},\frac{2\rho}{\rho+4}\right).$$ (ii) $NP=\sqrt{\rho+4}$ より $NQ=4/\sqrt{\rho+4}$。 直線 $AB$ 上の点 $P$ を $P=(2-2v,v/\sqrt2,0)$（$v$ は実数）と表すと $$\displaystyle \rho=(2-2v)^2+v^2/2=\frac92(v-8/9)^2+\frac49.$$ 従って $P=(2/9,4\sqrt2/9,0)$ で $\rho$ は最小となり，$NQ$ の最大値は $3\sqrt{10}/5$。 (iii) $QP=NP-NQ=\rho/\sqrt{\rho+4}$。$\rho\ge4/9$ より $$\displaystyle QP^2-\frac2{45}=\frac{(9\rho-4)(5\rho+2)}{45(\rho+4)}\ge0.$$ 等号は $\rho=4/9$ に限るため，(ii)と同じ点 $P$ で最小となる。