6秋田大学 2017年 数学 第6問解答・解説

解答 (i) $$\displaystyle f'(x)=\frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}$$ より，$f$ は $x=1$ で極大，$x=-1$ で極小となる。したがって $f$ の極大となる点は $t=1$。$u=x-a$ とおくと $$\displaystyle g'(x)=\frac{-4u}{(1+u^2)^2}=\frac{-4(x-a)}{(1+(x-a)^2)^2},$$ であり，$g$ は $x=a$ で極大となる。極大となる $x$ が同じだから $a=t=1$。

(ii) $a=1$ とすると $$\displaystyle g(x)=\frac{2x-x^2}{x^2-2x+2}.$$ 分母 $(1+x^2)(x^2-2x+2)$ は常に正であり， $$\displaystyle \begin{aligned} f(x)-g(x) &=\frac{2x(x^2-2x+2)-x(2-x)(1+x^2)}{(1+x^2)(x^2-2x+2)}\\ &=\frac{x(x-1)^2(x+2)}{(1+x^2)(x^2-2x+2)}. \end{aligned}$$ よって共有点の $x$ 座標は $0,1,-2$。各関数値はそれぞれ $0,1,-4/5$ なので，共有点は $$(0,0),\quad(1,1),\quad(-2,-4/5).$$

(iii) $x\ge0$ における交点は $x=0,1$ であり，$0<x<1$ では $f(x)-g(x)>0$。したがって囲まれた部分の面積は $$\displaystyle \int_0^1(f(x)-g(x))\,dx.$$ まず $$\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1\frac{2x}{1+x^2}\,dx=\ln2.$$ 次に $u=x-1$ とおくと $$\displaystyle g(x)=\frac{1-u^2}{1+u^2}=-1+\frac{2}{1+u^2}.$$ $u=\tan\theta$，$-\pi/4\le\theta\le0$ と置換すれば $$\displaystyle \int_{-1}^0\frac{2}{1+u^2}\,du=\int_{-\pi/4}^0 2\,d\theta=\frac\pi2.$$ よって $$\displaystyle \int_0^1g(x)\,dx=-1+\frac\pi2, \qquad \text{求める面積}=\ln2-\left(-1+\frac\pi2\right)=1+\ln2-\frac\pi2.$$