千葉大学 2004年数学第1問解答・解説

いろいろな式

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1問題

千葉大学2004年度第1問

整式 $x^{4} + ax^{3} + ax^{2} + bx - 6$ が整式 $x^{2} - 2x + 1$ で割り切れるとき a, b の値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$a=−3, b=11$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

被除式を $P(x)=x^4+ax^3+ax^2+bx-6$ 、除式を $D(x)=x^2-2x+1$ とする。多項式の除法で $P(x)=D(x)\{x^2+(a+2)x+3a+3\}+(5a+b+4)x-3a-9$ を得る。割り切れるためには、余りが恒等的に0でなければならないので $5a+b+4=0,\qquad -3a-9=0.$ 後式から $a=-3$ 、これを前式に代入して $b=11$ 。実際 $P(x)=(x^2-2x+1)(x^2-x-6)$ と因数分解できるため十分性も確認できる。従って $\boxed{a=-3,\quad b=11}.$

この問題で使う考え方

多項式の除法
余りの係数比較
因数分解による確認

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