東北大学 2002年数学第1問解答・解説

いろいろな式

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1問題

東北大学2002年度第1問

a, b は実数であり, 方程式

$x ^ {4} + (a + 2) x ^ {3} - (2 a + 2) x ^ {2} + (b + 1) x + a ^ {3} = 0$

が解 $x = 1 + i$ をもつとする。ただし, $i = \sqrt{-1}$ とする。このとき, a, b を求めよ。また, このときの方程式の他の解も求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$a=2,b=3\quad$ 。与えられた $\quad 1+i\quad$ 以外の解は $\quad 1-i,-3+\sqrt5,-3-\sqrt5\quad$ .

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$P(x)$ を与式の左辺とする。 $(1+i)^2=2i$ 、 $(1+i)^3=-2+2i$ 、 $(1+i)^4=-4$ より、 $P(1+i)=0$ の実部・虚部は $a^3-2a+b-7=0,\qquad b-2a+1=0.$ 後式から $b=2a-1$ 。前式に代入すると $a^3-8=0$ なので、実数条件から $a=2,b=3$ 。

このとき $P(x)=x^4+4x^3-6x^2+4x+8$ 。係数が実数なので $1-i$ も根であり、 $x^2-2x+2$ が因数。割り算すると $P(x)=(x^2-2x+2)(x^2+6x+4).$ 後の二次式は $(x+3)^2-5=0$ となるから残りの根は $-3\pm\sqrt5$ 。

この問題で使う考え方

複素数の代入と実部・虚部比較
実係数多項式の共役根
多項式の除法
二次方程式

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