京都大学 2003年数学第4問解答・解説

いろいろな式

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1問題

京都大学2003年度第4問配点 35点

多項式 $(x^{100}+1)^{100}+(x^{2}+1)^{100}+1$ は多項式 $x^{2}+x+1$ で割り切れるか.

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

割り切れる。 $x^2+x+1$ を法とした余りは 0 である。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$\begin{gathered} f(x)=x^2+x+1\text{ とおく。 }x^3-1=(x-1)f(x)\text{ より }x^3\equiv1\pmod{f(x)}.\\ x^{100}\equiv x,\quad x^{200}\equiv x^2,\quad x+1\equiv-x^2,\quad x^2+1\equiv-x\pmod{f(x)}.\\ \text{したがって、100 は偶数なので }(x^{100}+1)^{100}\equiv(x+1)^{100}=(-x^2)^{100}=x^{200}\equiv x^2,\\ (x^2+1)^{100}\equiv(-x)^{100}=x^{100}\equiv x\pmod{f(x)}.\\ \text{よって与式は }(x^{100}+1)^{100}+(x^2+1)^{100}+1\equiv x^2+x+1\equiv0\pmod{f(x)}.\\ \text{余りが }0\text{ だから }f(x)\text{ で割り切れる。} \end{gathered}$

この問題で使う考え方

多項式の除法

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