2東北大学 2002年 数学 第2問解答・解説

$c=\cos\theta$、$s=\sin\theta$ とおく。$|x|\ge2$ の整数について、$x\ge2$ なら $x+2c/\sqrt3\ge2-2/\sqrt3>0$、$x\le-2$ なら $x+2c/\sqrt3\le-2+2/\sqrt3<0$ である。よって $x(x+2c/\sqrt3)>0$ となり、$f(x)>f(0)$。したがって最小値は $x=-1,0,1$ のいずれかで生じる。

$$\displaystyle f(-1)-f(0)=1-\frac{2c}{\sqrt3},\qquad f(1)-f(0)=1+\frac{2c}{\sqrt3}.$$ $c\ge0$ のときは $f(1)>f(0)$、$c\le0$ のときは $f(-1)>f(0)$ である。これらの差を比較すると $$\displaystyle m(\theta)=\begin{cases} 1-\dfrac{2}{\sqrt3}\cos\theta-2\sin\theta,&0^\circ\le\theta\le30^\circ,\\ -2\sin\theta,&30^\circ\le\theta\le150^\circ,\\ 1+\dfrac{2}{\sqrt3}\cos\theta-2\sin\theta,&150^\circ\le\theta\le180^\circ. \end{cases}$$ 隣り合う式は境界で同じ値を与える。

(1) 条件 $\cos\theta\ge\sqrt3/2$ は $0^\circ\le\theta\le30^\circ$ と同値なので、この範囲では $$\displaystyle m(\theta)=1-\frac{2}{\sqrt3}\cos\theta-2\sin\theta=1-\frac{4}{\sqrt3}\sin(\theta+30^\circ).$$ $\theta+30^\circ$ は $30^\circ$ から $60^\circ$ まで動き、この範囲で正弦は増加する。したがって $m(\theta)$ は $\theta=30^\circ$ で最小となり、最小値は $\displaystyle 1-\frac{4}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=-1$ である。

(2) $30^\circ\le\theta\le150^\circ$ では $m(\theta)=-2\sin\theta\ge-2$ であり、等号は $\theta=90^\circ$ のときに成り立つ。(1) より $0^\circ\le\theta\le30^\circ$ では $m(\theta)\ge-1$。また $m(180^\circ-\theta)=m(\theta)$ だから、$150^\circ\le\theta\le180^\circ$ でも $m(\theta)\ge-1$ である。よって全範囲での最小値は $-2$ であり、それをとるのは $\theta=90^\circ$ である。