4福井大学 2022年 数学 第4問解答・解説

回転は正の向きなので、Bの偏角 $2\pi/3$ に $\theta$ を加える。$\theta=5\pi/12$ ではYのxy成分が $(2\cos(13\pi/12),2\sin(13\pi/12))$ となり、z座標は6である。従って(1)の座標を得る。

ABの長さは $2\sqrt3$ で、直線ABの方程式は $x+\sqrt3y=2$。Xのxy座標は $(2\cos\theta,2\sin\theta)$ である。Xのxy平面への射影からABまでの距離は $$\displaystyle \frac{|2\cos\theta+2\sqrt3\sin\theta-2|}{2}=2\cos(\theta-\pi/3)-1.$$ 区間 $0<\theta<2\pi/3$ では $|\theta-\pi/3|<\pi/3$ だから、この値は正で最大値1を $\theta=\pi/3$ でとる。Xは平面 $z=6$ 上にあるので、ABからXまでの距離は最大 $\sqrt{6^2+1^2}=\sqrt{37}$。よって三角形ABXの面積最大値は $\displaystyle \frac12(2\sqrt3)\sqrt{37}=\sqrt{111}$。

$A+B+C=0$ なので、回転後のD,E,Fの和も0。Z方向に6だけ平行移動したXYZの重心は $G=(0,0,6)$。底面ABCは一辺 $2\sqrt3$ の正三角形で面積 $3\sqrt3$、四面体の高さは6だから体積は $6\sqrt3$。OからABまでの距離は1であるため、Gから各辺AB, BC, CAまでの距離は $\sqrt{6^2+1^2}=\sqrt{37}$。側面積は各 $\displaystyle \frac12(2\sqrt3)\sqrt{37}=\sqrt{111}$ で、全表面積は $3\sqrt3+3\sqrt{111}$。内接球の半径は $r=3V/S=6/(1+\sqrt{37})=(\sqrt{37}-1)/6$。