3福井大学 2022年 数学 第3問解答・解説

・ 判別式条件から $x^2(1-x)\ge0$。$x\ge0$ より $0\le x\le1$。

・ $y_\pm=x(1\pm\sqrt{1-x})$。下側の枝の $y$ 座標は $0\le y\le1$ の範囲を動く。上側の枝 $y_+$ の最大を $t=\sqrt{1-x}$ で調べると、$y_+=(1-t^2)(1+t)$ の $t$ 微分は $(1+t)(1-3t)$。よって $t=1/3$（$x=8/9$）で最大 $32/27$。したがって $0\le y\le32/27$。

・ 2枝の間の面積は $$\displaystyle \int_0^1(y_+-y_-)\,dx=2\int_0^1x\sqrt{1-x}\,dx=2\left(\frac23-\frac25\right)=\frac8{15}.$$

式をyについて解くと $y=x\pm x\sqrt{1-x}$ である。$x\ge0$ のもとで実数解をもつ条件は $0\le x\le1$。下側の枝は0から1まで、上側の枝は0から最大$\displaystyle \frac{32}{27}$まで動くため、yの範囲は$\displaystyle 0\le y\le\frac{32}{27}$である。2枝に挟まれた面積は $\displaystyle \int_0^1 2x\sqrt{1-x}\,dx=\frac{8}{15}$。