6長崎大学 2010年 数学 第6問解答・解説

x=t と固定し、$r=\sqrt{4-t^2}$、$d=2-t$ とおく。このとき円柱の底面から $-r\le y\le r$ であり、高さ $z$ は $\displaystyle 0\le z\le \min(d^2,y^2)$ を満たす。なお $y^2\le r^2\le4$ なので、円柱の上面の条件 $z\le4$ はこれ以上高さを制限しない。

$$d^2-r^2=(2-t)^2-(4-t^2)=2t(t-2)$$ である。したがって $-2\le t\le0$ では $d\ge r$ となり、切り口の高さは全域で $y^2$ である。よって $$\displaystyle A(t)=\int_{-r}^{r}y^2\,dy=\frac{2}{3}r^3 =\frac{2}{3}(4-t^2)^{3/2}.$$ 一方、$0\le t\le2$ では $d\le r$ であり、$|y|=d$ を境に高さが $y^2$ から $d^2$ に変わる。対称性を用いると $$\displaystyle \begin{aligned} A(t) &=2\left(\int_0^d y^2\,dy+\int_d^r d^2\,dy\right)\\ &=\frac{2}{3}d^3+2d^2(r-d) =2d^2r-\frac{4}{3}d^3\\ &=2(2-t)^2\sqrt{4-t^2}-\frac{4}{3}(2-t)^3. \end{aligned}$$ なお $t=0$ では両式とも $16/3$ となる。

(2) 断面積を積分して $$\displaystyle V=\frac{2}{3}\int_{-2}^{0}(4-t^2)^{3/2}\,dt +2\int_0^2(2-t)^2\sqrt{4-t^2}\,dt -\frac{4}{3}\int_0^2(2-t)^3\,dt$$ を得る。最初の積分では $t=2\sin\theta$ とおくと $$\displaystyle \begin{aligned} \int_{-2}^{0}(4-t^2)^{3/2}\,dt &=16\int_{-\pi/2}^{0}\cos^4\theta\,d\theta\\ &=16\cdot\frac{3\pi}{16}=3\pi, \end{aligned}$$ ここで $\cos^4\theta=(3+4\cos2\theta+\cos4\theta)/8$ を用いた。

次に、$u=4-t^2$ とおくと $$\displaystyle \int_0^2t\sqrt{4-t^2}\,dt=\frac{1}{2}\int_0^4\sqrt{u}\,du=\frac{8}{3}.$$ また、$t=2\sin\theta$ とおけば $$\displaystyle \int_0^2t^2\sqrt{4-t^2}\,dt =16\int_0^{\pi/2}\sin^2\theta\cos^2\theta\,d\theta =\pi,$$ ただし $\sin^2\theta\cos^2\theta=(1-\cos4\theta)/8$ である。さらに $\displaystyle \int_0^2\sqrt{4-t^2}\,dt=\pi$ は半径2の四分円の面積である。したがって $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^2(2-t)^2\sqrt{4-t^2}\,dt &=\int_0^2(t^2-4t+4)\sqrt{4-t^2}\,dt\\ &=\pi-4\cdot\frac{8}{3}+4\pi =5\pi-\frac{32}{3},\\ \int_0^2(2-t)^3\,dt&=4. \end{aligned}$$ 以上より $$\displaystyle V=2\pi+2\left(5\pi-\frac{32}{3}\right)-\frac{16}{3} =12\pi-\frac{80}{3}.$$ この値は正であり、また断面積の式は $t=-2,2$ でそれぞれ $0,0$ となる。