長崎大学 2010年数学第5問解答・解説

1問題

長崎大学2010年度第5問

$a,b$ を $a>b>0$ を満たす定数とし、 $\begin{cases} a_{1}=a,\quad a_{n+1}=a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\quad(n=1,2,3,\dots),\\ b_{1}=b,\quad b_{n+1}=2a_{n}b_{n}\quad(n=1,2,3,\dots) \end{cases}$ で定義される数列 $\{a_{n}\},\ \{b_{n}\}$ を考える。次の問いに答えよ。

(1) 数列 $\{c_{n}\}$ を $c_{n}=a_{n}+b_{n}\ (n=1,2,3,\dots)$ により定義するとき、その一般項 $c_{n}$ を $a,b$ を用いて表せ。

(2) 数列 $\{a_{n}\},\ \{b_{n}\}$ の一般項 $a_{n},b_{n}$ を $a,b$ を用いて表せ。

(3) 極限値 $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\dfrac{b_{n}}{a_{n}}$ が存在するかどうかを調べ、存在する場合はその値を求めよ。

(4) 無限級数 $\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}a_{n}$ が収束するとき、 $a+b<1$ が成り立つことを証明せよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$(1) c_n=(a+b)^{2^{n−1}}$ 。 $(2) a_n=((a+b)^{2^{n−1}}+(a−b)^{2^{n−1}})/2, b_n=((a+b)^{2^{n−1}}−(a−b)^{2^{n−1}})/2$ 。 (3) 極限は1。 (4) 級数が収束するなら $a+b<1$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

原文・入力

数学の確認

和 `c_n=a_n+b_n` と差 `d_n=a_n-b_n` を作ると、与えられた漸化式の展開から

`c_(n+1)=(a_n+b_n)^2=c_n^2`, `d_(n+1)=(a_n-b_n)^2=d_n^2`。

初項は `c_1=a+b`, `d_1=a-b` だから、繰り返し二乗して `c_n=(a+b)^(2^(n-1))`, `d_n=(a-b)^(2^(n-1))`。和と差を戻せば

`a_n={ (a+b)^(2^(n-1))+(a-b)^(2^(n-1)) }/2`,

`b_n={ (a+b)^(2^(n-1))-(a-b)^(2^(n-1)) }/2`。

`r=(a-b)/(a+b)` とおけば `0<r<1`。したがって `b_n/a_n=(1-r^(2^(n-1)))/(1+r^(2^(n-1)))` で、指数が無限大になると `r^(2^(n-1))→0` より比の極限は1。

級数収束なら一般項 `a_n→0`。一方、`a_n=(c_n+d_n)/2≥c_n/2=(a+b)^(2^(n-1))/2`。もし `a+b≥1` なら全てのnで `a_n≥1/2` となり一般項が0に近づかない。矛盾するので `a+b<1`。

範囲・表示・ラベル

平方の漸化式、和差からの復元、`0<r<1` の冪の極限だけで解ける。高校数学の数列・極限の範囲である。表示上の訂正は不要。

**答**

(1) `c_n=(a+b)^(2^(n-1))`。

(2) 上記の `a_n,b_n`。

(3) 極限は存在し、1。

(4) `Σa_n` が収束するなら `a+b<1`。

この問題で使う考え方

和差による漸化式の解法
指数の極限
収束の必要条件

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2答え

3解答

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