1浜松医科大学 2021年 数学 第1問解答・解説

(1)　 $\displaystyle a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac12\left((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right)\ge0$.

各平方は0以上であるから、この不等式が成り立つ。等号が成り立つのは、三つの平方がすべて0となるとき、すなわち $a=b=c$ のときである。

(2)　 $u=\sqrt[3]{x},\quad v=\sqrt[3]{y},\quad w=\sqrt[3]{z}$ とおくと、$u,v,w>0$ である。(1)および問題文の恒等式より、

$$3(P-Q)=x+y+z-3\sqrt[3]{xyz}=u^3+v^3+w^3-3uvw=(u+v+w)(u^2+v^2+w^2-uv-vw-wu)\geq 0.$$ したがって $P\ge Q$ である。$u+v+w>0$ なので、等号が成り立つのは第二因子が0のときであり、(1)より $u=v=w$、すなわち $x=y=z$ のときである。

次に、$\displaystyle \alpha=\frac1x,\quad\beta=\frac1y,\quad\gamma=\frac1z$ とおくと、$\alpha,\beta,\gamma>0$ であり、同様に

$$\displaystyle 3\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{Q}\right)=\alpha+\beta+\gamma-3\sqrt[3]{\alpha\beta\gamma}=(\sqrt[3]{\alpha}+\sqrt[3]{\beta}+\sqrt[3]{\gamma})(\alpha^{2/3}+\beta^{2/3}+\gamma^{2/3}-\sqrt[3]{\alpha\beta}-\sqrt[3]{\beta\gamma}-\sqrt[3]{\gamma\alpha})\geq 0.$$ ここで $Q,R>0$ であるから、両辺に QR を掛けると $Q-R\ge0$ を得る。よって $Q\ge R$ である。等号が成り立つのは (1) より $\sqrt[3]{\alpha}=\sqrt[3]{\beta}=\sqrt[3]{\gamma}$、すなわち $\alpha=\beta=\gamma$、したがって $x=y=z$ のときである。