4長崎大学 2011年 数学 第4問解答・解説

(1) 条件式に $a_n=nb_n$, $a_{n+1}=(n+1)b_{n+1}$ を代入すると、$$n(n+1)(b_{n+1}-b_n)=1$$ となる。したがって、$$\displaystyle b_{n+1}-b_n=\frac1{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}.$$ $b_1=a_1=1$ であるから、$n\ge2$ について$$\displaystyle b_n=1+\sum\limits _{k=1}^{n-1}\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)=1+1-\frac1n=2-\frac1n.$$ この式は $n=1$ のときにも成り立つ。よって $a_n=nb_n=2n-1$。実際、$a_1=1$ であり、$n(2n+1)-(n+1)(2n-1)=1$ なので条件を満たす。

(2) $x\ne1$ では商の微分法により、$$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n-1}kx^{k-1}=\frac{nx^{n-1}(x-1)-(x^n-1)}{(x-1)^2}=\frac{(n-1)x^n-nx^{n-1}+1}{(x-1)^2}.$$ 両辺に $x$ を掛けると、$$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n-1}kx^k=\frac{(n-1)x^{n+1}-nx^n+x}{(x-1)^2}\quad(x\ne1).$$ $x=1$ のときは和を直接計算して $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n-1}k=n(n-1)/2$ となる。

(3) 条件式の両辺に $n(n+1)$ を掛け、$d_n=nc_n$ とおくと、$$p d_{n+1}-d_n=n,\qquad d_1=0$$ を得る。$p=0$ なら $n=1$ の式は $-d_1=1$ となり、$d_1=0$ に矛盾するため、条件を満たす数列は存在しない。以下 $p\ne0,1$ とする。漸化式を $d_{n+1}=d_n/p+n/p$ と書き、これを繰り返すと$$\displaystyle d_n=\sum\limits _{k=1}^{n-1}\frac{k}{p^{n-k}}=\frac1{p^n}\sum\limits _{k=1}^{n-1}kp^k.$$ (2) の公式に $x=p$ を代入して$$\displaystyle d_n=\frac{(n-1)p^{n+1}-np^n+p}{p^n(p-1)^2}=\frac{n(p-1)-p+p^{1-n}}{(p-1)^2}.$$ $c_n=d_n/n$ だから、$$\displaystyle c_n=\frac{n(p-1)-p+p^{1-n}}{n(p-1)^2}\quad(p\ne0,1).$$ $n=1$ を代入すると $c_1=0$ となる。また $n=2$ では $c_2=1/(2p)$ となり、元の漸化式の $n=1$ の場合にも一致する。