琉球大学 2022年数学第1問解答・解説

極限微分法積分法

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1問題

琉球大学2022年度第1問

$x>0$ の範囲で、関数 $f(x)$ を $\displaystyle f(x)=-\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x}$ と定め、 $y=f(x)$ で表される曲線を $C$ とする。次の問いに答えよ。（50点）

問1 $f(x)$ の極値を求めよ。

問2 曲線 $C$ の接線で、点 $(0,1)$ を通り、傾きが負であるものを $l$ とする。直線 $l$ の傾きを求めよ。

問3 曲線 $C$ と直線 $l$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

（解答は次のページの解答欄に記入すること。）

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) 最大値は $\quad 1\quad$ （ $\quad x=1\quad$ ）、極小値はない。 (2) 接線の傾き $\quad -4/27\quad$ 。 (3) 面積 $\quad 4\log2-21/8\quad$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$f(x)=-x^{-2}+2x^{-1}$ とすると $f'(x)=2(1-x)/x^3$ 。従って $f$ は $0<x<1$ で増加、 $x>1$ で減少し、 $x=1$ で極大値かつ最大値1をとる。 $x\to0+$ で $f(x)\to-\infty$ なので極小値はない。接点を $(a,f(a))$ とすれば切片条件は $f(a)-af'(a)=1$ 、すなわち $a^2-4a+3=0$ 。根 $a=1,3$ のうち負傾きの条件に合うのは $a=3$ だけで、傾きは $f'(3)=-4/27$ 、接線は $y=1-4x/27$ 。 $\displaystyle f(x)-\left(1-\frac{4x}{27}\right)=\frac{(x-3)^2(4x-3)}{27x^2}.$ 交点は $x=3/4,3$ で、その間は曲線が上にある。よって $\displaystyle S=\int_{3/4}^3\left(f(x)-1+\frac{4x}{27}\right)dx=\left[\frac1x+2\log x-x+\frac{2x^2}{27}\right]_{3/4}^3=4\log2-\frac{21}{8}.$

この問題で使う考え方

増減表
接線の切片条件
差の因数分解と面積積分

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