群馬大学 2020年数学第3問解答・解説

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1問題

群馬大学2020年度第3問

四面体 OABC は次の 2 条件を満たすとする。

1. $\mathrm{OA} = \mathrm{OB} = \mathrm{OC} = 1$ 2. $\angle \mathrm{AOB} = \angle \mathrm{AOC} = 90^{\circ},\quad \angle \mathrm{BOC} = 60^{\circ}$

辺 BC を 1:2 に内分する点を M, 辺 AC を t:(1-t) に内分する点を N とおき, 線分 AM と線分 BN との交点を P とおく。ただし, t は 0<t<1 を満たす実数とする。以下の問いに答えよ。

(1) $\overrightarrow{AP}$ を $\overrightarrow{AB}$ ， $\overrightarrow{AC}$ および t を用いて表せ。

(2) 線分 OP の長さを最小にする t の値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle \overrightarrow{AP}=\frac{2t}{1+2t}\overrightarrow{AB}+\frac{t}{1+2t}\overrightarrow{AC}$ . (2) $\displaystyle t=\frac3{10}$ ; $\displaystyle \min OP=\frac{\sqrt7}{4}$ .

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $\mathbf u=\overrightarrow{AB}$ 、 $\mathbf v=\overrightarrow{AC}$ とおく。内分比から $\overrightarrow{AM}=(2\mathbf u+\mathbf v)/3$ 、 $\overrightarrow{AN}=t\mathbf v$ 。

$P$ を直線 $AM$ 上と $BN$ 上の両方で表して係数を比較すると、 $\displaystyle \overrightarrow{AP}=\frac{2t}{1+2t}\overrightarrow{AB}+\frac{t}{1+2t}\overrightarrow{AC}$ 。

(2) $k=t/(1+2t)$ とし、 $\mathbf a=\overrightarrow{OA}$ 、 $\mathbf b=\overrightarrow{OB}$ 、 $\mathbf c=\overrightarrow{OC}$ とすると、 $\overrightarrow{OP}=(1-3k)\mathbf a+2k\mathbf b+k\mathbf c$ 。

内積条件より $OP^2=(1-3k)^2+4k^2+k^2+2k^2=16(k-3/16)^2+7/16$ 。最小は $k=3/16$ で、これに対応する $t=3/10$ は許容範囲内。従って最小値は $\sqrt7/4$ 。

この問題で使う考え方

内分点のベクトル表示
位置ベクトルと内積
平方完成と最小値

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