1群馬大学 2020年 数学 第1問解答・解説

$p,q$ は実数で、3次方程式の非実根として $\alpha$ と $1/\alpha$ をもつ。係数が実数なので $\bar\alpha$ も根である。$\alpha\ne1/\alpha$（そうであれば $\alpha=\pm1$ は実数）かつ $\alpha\ne\bar\alpha$。もし $1/\alpha\ne\bar\alpha$ なら3根 $\alpha,1/\alpha,\bar\alpha$ は相異なり、その積は $\bar\alpha$ となる。一方、解と係数の関係から根の積は $-1$ なので $\bar\alpha=-1$ となり、$\alpha$ が非実数であることに反する。よって $$\displaystyle \frac1\alpha=\bar\alpha.$$ $\alpha=s+ti\ (t\ne0)$ とおくと、$|\alpha|^2=1$ から $s^2+t^2=1$。残る根を $\gamma$ とすると、根の積より $\gamma=-1$ である。したがって根は $\alpha,\bar\alpha,-1$ であり、 $$x^3+px^2+qx+1=(x+1)(x-\alpha)(x-\bar\alpha) =(x+1)(x^2-2sx+1).$$

(1) 展開すると $$x^3+(1-2s)x^2+(1-2s)x+1$$ となるから、係数比較により $p=q=1-2s$。

(2) $t\ne0$ と $s^2+t^2=1$ より $-1<s<1$。よって $p=1-2s$ の範囲は $$-1<p<3.$$ 逆に $-1<p<3$ を満たす任意の $p$ に対し $s=(1-p)/2$ とおくと $-1<s<1$ である。$t=\sqrt{1-s^2}\ne0$、$\alpha=s+ti$ とすれば $1/\alpha=\bar\alpha$。上の因数分解は係数 $p=q=1-2s$ をもち、条件を満たす。従って範囲内の値はすべて実現する。

(3) $s+2t=-1$ より $s=-1-2t$。単位円の条件に代入すると $$(-1-2t)^2+t^2=1\quad\text{を展開・整理した同値な式は}\quad t(5t+4)=0.$$ $t\ne0$ だから $t=-4/5$、$s=3/5$。したがって $$\displaystyle p=1-2s=-\frac15.$$