2名古屋大学 2019年 数学 第2問解答・解説

Pの単位法線ベクトルを$n$とし、$x=\overrightarrow{AB′},\ y=\overrightarrow{AC′}$、符号付き高さを$h,k$とする。$B,C$は$P$の同じ側にあり、いずれも$P$上にないので$hk>0$。 $$\overrightarrow{AB}=x+hn,\qquad \overrightarrow{AC}=y+kn,\qquad \overrightarrow{B′B}=hn,\qquad \overrightarrow{C′C}=kn.$$ $x,y\perp n$かつ$AB\perp AC$より $$0=(x+hn)\cdot(y+kn)=x\cdot y+hk.$$ したがって$x\cdot y=-hk$、また$(hn)\cdot(kn)=hk$だから、(1)の左辺は$x\cdot y+hk=0$。さらに$hk>0$より$x\cdot y<0$。ゆえに$x,y\ne0$で、$\angle B′AC′$は鈍角、すなわち$\angle B′AC′>\pi/2$。

(3)では、鈍角の対辺が最長だから$B′C′=7$、残る二辺は$AB′=4,\ AC′=\sqrt{21}$（順序は逆でも同じ）。よって $$\displaystyle x\cdot y=\frac{|x|^2+|y|^2-|x-y|^2}{2}=\frac{16+21-49}{2}=-6,$$ 従って$hk=6$。$\ell=AB=AC$とおけば、直交分解から $$h^2=\ell^2-16,\qquad k^2=\ell^2-21.$$ 従って$(\ell^2-16)(\ell^2-21)=(hk)^2=36$。$t=\ell^2$とすると$t^2-37t+300=0$、ゆえに$t=12,25$。$k\ne0$かつ$k^2=t-21>0$なので$t=25$。従って$AB=\ell=5$。