4東京大学 2000年 数学 第4問解答・解説

点Pが線分QRに重なる条件は $$\sqrt3/2\le\sin t\le1,\qquad \cos t=1-vt$$ である。$t<0$ では $1-vt>1$ なので衝突せず、$t=0$ でもPの高さが0なので衝突しない。したがって正の時刻だけを考えればよい。

$k=0,1,2,\ldots$ として $$a_k=2k\pi+\pi/3,\qquad b_k=2k\pi+2\pi/3$$ とおく。衝突の可能性があるのは、いずれかの $k$ について $a_k\le t\le b_k$ を満たす時刻である。この区間で衝突する速度は $$\displaystyle v=F(t)=\frac{1-\cos t}{t}$$ を満たす。

まず、各区間で $F$ が単調に増加することを示す。 $$\displaystyle F'(t)=\frac{G(t)}{t^2},\qquad G(t)=t\sin t+\cos t-1,\qquad G'(t)=t\cos t.$$ $G$ は前半の $a_k\le t\le2k\pi+\pi/2$ で増加し、後半で減少する。しかも $$\displaystyle G(a_k)=\frac{\sqrt3}2a_k-\frac12>0,\qquad G(b_k)=\frac{\sqrt3}2b_k-\frac32>0$$ である。最後の不等式は $k=0$ のときに確かめればよく、$\pi>3$、$\sqrt3>3/2$ から従う。よって区間全体で $F'(t)>0$。

したがって、$k$ 番目の区間で衝突が起こる速度の範囲を $I_k$ とすると $$\displaystyle L_k\le v\le U_k,\qquad L_k=\frac{3}{2\pi(6k+1)},\qquad U_k=\frac{9}{4\pi(3k+1)}$$ であり、この範囲内の速度ごとに、その区間での衝突はただ一度である。端点でPはQに重なるため、両端を含む。

(1) 時刻0から $2\pi$ までは $I_0$ だけを考えればよい。よって衝突しない条件は $$\displaystyle \boxed{\ 0<v<\frac{3}{2\pi}\quad\text{または}\quad v>\frac{9}{4\pi}\ }.$$

(2) 原文は(1)と(2)を「それぞれの場合」としており、(2)には時刻を $2\pi$ までに限る指定がない。したがって、その後の周回も含め、全時刻での衝突回数を調べる。

$L_k,U_k$ はともに $k$ とともに減少する。また $$\displaystyle U_1=\frac9{16\pi}<L_0=\frac3{2\pi}$$ なので、$L_0\le v\le U_0$ なら、衝突は最初の区間での一度だけである。

次に $I_1$ を調べる。$k\ge2$ のすべての区間の上端は $U_2$ 以下であるから、 $$\displaystyle U_2<v\le U_1,\quad\text{すなわち}\quad \frac9{28\pi}<v\le\frac9{16\pi}$$ なら、$k=1$ の区間だけで衝突する。なお $L_1<U_2$ であり、上の範囲は確かに $I_1$ に含まれる。

これ以外に一度だけ衝突する速度がないことを示す。$k\ge2$ では $$\displaystyle U_{k+1}\ge L_{k-1} \quad\text{すなわち}\quad \frac9{4(3k+4)}\ge\frac3{2(6k-5)} \quad\text{すなわち}\quad 72k\ge138$$ が成り立つ。したがって $I_k$ 内の速度は、$I_{k-1}$ と $I_{k+1}$ の少なくとも一方にも入る。$k\ge2$ の区間で衝突する速度では、別の区間でも衝突するので、一度だけにはならない。 また $L_1\le v\le U_1$ で $v\le U_2$ の場合は、$L_2<L_1$ より $L_2\le v\le U_2$ でもあり、やはり二度以上衝突する。

以上から求める範囲は $$\displaystyle \boxed{\ \frac3{2\pi}\le v\le\frac9{4\pi} \quad\text{または}\quad \frac9{28\pi}<v\le\frac9{16\pi}\ }.$$ $v=9/(28\pi)$ では $k=1,2$ の両区間で衝突するため除き、$v=9/(16\pi)$ は $k=1$ の区間の終端で一度だけ衝突するため含む。

以前の解答との違い　 (2)にも追加で $0\le t\le2\pi$ を仮定すれば、答えは最初の範囲 $3/(2\pi)\le v\le9/(4\pi)$ だけとなる。しかし、この時間制限は(2)の原文にはない。ここでは原文どおり、後の周回での衝突も数えた。