1島根大学 2019年 数学 第1問解答・解説

第1問

辺の長さと角の記号は問題文のとおりとする。$a>b>c>0$ で、三角形の 不等式も成り立つ。

(1) 三角形の不等式と $c<b$ より $$a<b+c<2b.$$ したがって $ab/2<b^2$ であり、両辺は正なので $$\displaystyle \boxed{\sqrt{\frac{ab}{2}}<b}.$$

(2) 正弦定理から $b=2R\sin B$, $c=2R\sin C$。よって $$\displaystyle \begin{aligned} c(1-\cos B)-b(1-\cos C) &=2R\{\sin C(1-\cos B)-\sin B(1-\cos C)\}\\ &=4R\left\{\sin C\sin^2\frac B2-\sin B\sin^2\frac C2\right\}\\ &=8R\sin\frac B2\sin\frac C2 \left(\sin\frac B2\cos\frac C2-\cos\frac B2\sin\frac C2\right)\\ &=8R\sin\frac B2\sin\frac C2\sin\frac{B-C}{2}. \end{aligned}$$ したがって、示すべき等式が成り立つ。

(3) $AM=m$, $AN=n$ とおく。線分 $MN$ が面積を二等分するので $$\displaystyle \frac12 mn\sin A=\frac12\left(\frac12bc\sin A\right), \qquad mn=\frac{bc}{2}.$$ 余弦定理と $m^2+n^2\ge 2mn$ より $$\begin{aligned} MN^2&=m^2+n^2-2mn\cos A\\ &\ge 2mn-2mn\cos A\\ &=bc(1-\cos A). \end{aligned}$$ ゆえに $\boxed{MN^2\ge bc(1-\cos A)}$。

(4) 面積を二等分する線分は、(i) ある頂点 $X$ の両隣の辺上の2点を結んで $X$ の三角形を切り取るもの、または (ii) 頂点と対辺上の点を結ぶものに 限られる。(ii) では対辺上の点は中点なので、その線分は中線である。

(i) の各場合に (3) を適用する。頂点 $A,B,C$ で得られる長さの下界の 二乗をそれぞれ $$\displaystyle L_A^2=bc(1-\cos A)=\frac{a^2-(b-c)^2}{2},\quad L_B^2=ac(1-\cos B)=\frac{b^2-(a-c)^2}{2},\quad L_C^2=ab(1-\cos C)=\frac{c^2-(a-b)^2}{2}$$ とする。余弦定理で表した式から $$L_A^2-L_C^2=(a-c)(a+c-b)>0,\qquad L_B^2-L_C^2=(b-c)(b+c-a)>0,$$ である。したがって、どの頂点を切り取る線分も長さは $L_C$ 以上。

(ii) の中線の長さを $m_A,m_B,m_C$ とする。中線定理から $$\displaystyle m_A^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4},\quad m_B^2=\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4},\quad m_C^2=\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}.$$ これらと $L_C^2=\{c^2-(a-b)^2\}/2$ を比べると $$\displaystyle m_A^2-L_C^2=\frac{(a-2b)^2}{4}\ge0,\quad m_B^2-L_C^2=\frac{(2a-b)^2}{4}>0,$$ $$\displaystyle m_C^2-L_C^2=\frac{4(a^2-ab+b^2)-3c^2}{4}>0.$$ 最後の正値は $a>b>c$ より $a^2-ab+b^2>b^2>c^2$ から従う。従って 中線もすべて長さ $L_C$ 以上。

この下界は頂点 $C$ の両隣の辺上で達成できる。実際、$CM=CN=\sqrt{ab/2}$ とする。(1) より $\sqrt{ab/2}<b$ であり、また $a>b$ より $\sqrt{ab/2}<a$ なので、$M,N$ はそれぞれ辺 $CB,CA$ 上にある。 このとき $CM\cdot CN=ab/2$ だから $\triangle CMN$ の面積は $\triangle ABC$ の半分である。また余弦定理から $$\displaystyle MN^2=ab- ab\cos C=ab(1-\cos C) =\frac{c^2-(a-b)^2}{2}.$$ よって求める最小値は $$\displaystyle \boxed{\sqrt{\frac{c^2-(a-b)^2}{2}}}.$$