鹿児島大学 2010年数学第4問解答・解説

二次関数極限微分法

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1問題

鹿児島大学2010年度第4問

$a$ を0以上の実数とし、 $x>-1$ で定義された関数 $f(x)=2x^2+(1-a^2)\log(x+1)$ について、次の各問いに答えよ。

(1) 方程式 $f'(x)=0$ が $x>-1$ で異なる2つの実数解をもつような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

(2) $a$ が(1)で求めた範囲にあるとき、関数 $f(x)$ の増減を調べ、極値を求めよ。

(3) $a$ が(1)で求めた範囲にあるとき、関数 $f(x)$ の極小値は $\displaystyle \frac{1-2\log2}{2}$ より大きいことを証明せよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

解説

導関数を通分すると分子が $(2x+1)^2-a^2$ と因数分解できます。二つの根は $(-1-a)/2$ と $(-1+a)/2$ です。 $a$ は非負であり、前者が定義域 $x>-1$ に入るには $a<1$ 、異なる根となるには $a>0$ が必要です。

分母は定義域で正なので、分子の符号変化は $+,-,+$ です。左の根が極大点、右の根が極小点となります。

最後は極小点の関数値を $a$ の関数 $M(a)$ と見て微分します。微分では、二乗項の微分 $-(1-a)$ と対数項の積の微分に現れる $(1-a)$ が打ち消し合い、 $M'(a)=-2a\log((1+a)/2)>0$ が残ります。よって $a>0$ の極小値は $a=0$ への極限値より厳密に大きく、指定された境界値を上回ります。

この問題で使う考え方

導関数の因数分解
増減の判定
極値の関数値の微分

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