IV慶應義塾大学 2010年 数学 第IV問解答・解説

(1) $f'(x)<0$ かつ $f(a)=0$ なので、$0<x<a$ では $f(x)>0$ である。点 $P(x,f(x))$ における接線は $$y-f(x)=f'(x)(X-x)$$ と書ける。ここで $X$ は接線上の点の $x$ 座標である。$x$ 軸との交点Aの $x$ 座標は $\displaystyle x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}$、$y$ 軸との交点Bの $y$ 座標は $f(x)-xf'(x)$ である。どちらも正なので $$\displaystyle \begin{aligned} S(x)&=\frac12\left(x-\frac{f(x)}{f'(x)}\right)(f(x)-xf'(x))\\ &=\frac12\frac{(f(x)-xf'(x))^2}{-f'(x)}. \end{aligned}$$ したがって $\boxed{\text{あ}=f(x)-xf'(x),\ \text{い}=-f'(x)}$ である。

(2) $f(x)-xf'(x)>0$、$-f'(x)>0$ だから、その対数を微分できる。(1)から $$\displaystyle \begin{aligned} \frac{d}{dx}\log S(x) &=2\frac{f'(x)-(f'(x)+xf''(x))}{f(x)-xf'(x)}-\frac{f''(x)}{f'(x)}\\ &=-\frac{2xf''(x)}{f(x)-xf'(x)}-\frac{f''(x)}{f'(x)}\\ &=\frac{f''(x)(f(x)+xf'(x))}{(-f'(x))(f(x)-xf'(x))}. \end{aligned}$$ よって $\boxed{\text{う}=f''(x)(f(x)+xf'(x)),\ \text{え}=(-f'(x))(f(x)-xf'(x))}$ である。

(3) $g(x)=f(x)+xf'(x)$ とおくと $$g'(x)=2f'(x)+xf''(x)<0\qquad(0<x<a).$$ 従って $g$ は減少する。また、$f$ は減少し $f(a)=0$ だから $g(0)=f(0)>0$、一方 $$g(a)=af'(a)<0.$$ 連続性と中間値の定理から、$g(x)=0$ となる点が少なくとも1つ $(0,a)$ にある。$g$ は減少するのでその点はただ1つである。

(2)の式の分母は正であり、$f''(x)<0$ だから、$\displaystyle \dfrac{d}{dx}\log S(x)$ の符号は $-g(x)$ の符号と同じである。従って、この唯一の零点より左では $S'(x)<0$、右では $S'(x)>0$ となる。よって $S(x)$ は区間 $0<x<a$ のちょうど1点で最小値をとる。

(4) この関数では $a=\sqrt5-1$、$f'(x)=-2(x+1)<0$、$f''(x)=-2<0$ だから、(3)の結果を適用できる。最小点 $x_0$ は $g(x_0)=0$ を満たす。ここで $$g(x)=f(x)+xf'(x)=5-(x+1)^2-2x(x+1)=4-3x^2-4x.$$ 従って $$3x_0^2+4x_0-4=0, \qquad (3x_0-2)(x_0+2)=0.$$ 根は $\displaystyle x_0=\dfrac23$ または $-2$ だが、区間 $0<x<\sqrt5-1$ に属するのは $\displaystyle \dfrac23$ だけである。よって $\displaystyle \boxed{\text{お}=\dfrac23}$。

検算として、(4)では $x=2/3$ で $g(x)=4-3(4/9)-8/3=0$ となり、(3)で示した一意な最小点の条件を満たす。また $0<2/3<\sqrt5-1$ である。