5鹿児島大学 2010年 数学 第5問解答・解説

5-1 (1)　 原点のまわりの回転角を $\theta$ とする。2点の移動先は$$\begin{aligned}(1,0)&\longmapsto(\cos\theta,\sin\theta),\\(0,1)&\longmapsto(-\sin\theta,\cos\theta).\end{aligned}$$したがって$$\cos\theta=4/5,\quad b=-\sin\theta,\quad c=\sin\theta,\quad d=\cos\theta.$$$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ と $b>0$ より $\sin\theta=-3/5$ なので、 $$\displaystyle A=\begin{pmatrix}\frac45&\frac35\\-\frac35&\frac45\end{pmatrix}.$$

5-1 (2)　 点 $(x,y)$ を $B$ によって移した点を $(u,v)$ とする。さらに $A$ によって移すと $y$ 軸に関する対称点 $(-x,y)$ になるので、 $$4u+3v=-5x,\qquad -3u+4v=5y.$$ 第1式の4倍から第2式の3倍を引くと $25u=-20x-15y$、第1式の3倍と第2式の4倍を加えると $25v=-15x+20y$ となる。よって $$\displaystyle u=-\frac45x-\frac35y,\qquad v=-\frac35x+\frac45y,$$ であり、求める行列は $$\displaystyle B=\begin{pmatrix}-\frac45&-\frac35\\-\frac35&\frac45\end{pmatrix}.$$

5-1 (3)　 条件 $\displaystyle B\binom xy=\binom xy$ は $$-4x-3y=5x,\qquad -3x+4y=5y$$ と同値である。どちらも $3x+y=0$ となる。したがって、条件を満たす点は任意の実数 $t$ に対する $(t,-3t)$ であり、その集まりは直線 $$y=-3x$$ である。

5-1 (4)　 条件を成分で表すと $$-4z-3w=10,\qquad -3z+4w=5.$$ 第1式の4倍と第2式の3倍を加えると $-25z=55$ となる。これを第2式に代入して、 $$\displaystyle \binom zw=\binom{-11/5}{-2/5}$$ を得る。また、成分を直接計算すると $$\displaystyle B\binom{-11/5}{-2/5}=\binom21,\qquad B\binom21=\binom{-11/5}{-2/5}.$$ したがって、$B$ の表す移動を繰り返すとこの2点が交互に現れる。自然数 $n$ に対し、 $$\displaystyle B^n\binom zw= \begin{cases} \binom21&n\text{ が奇数のとき},\\ \binom{-11/5}{-2/5}&n\text{ が偶数のとき}. \end{cases}$$

5-2 (1)　 $x_0^2-y_0^2=2$ より $x_0\ne0$ である。$x_0>0$ のとき $\varepsilon=1$、$x_0<0$ のとき $\varepsilon=-1$ とおく。点 $P$ を含む曲線の枝は、$y$ に対して $x$ を関数とみると $$x=f(y)=\varepsilon\sqrt{y^2+2}$$ で表される。微分すると $$\displaystyle f'(y)=\frac{\varepsilon y}{\sqrt{y^2+2}}=\frac{y}{f(y)},\qquad f'(y_0)=\frac{y_0}{x_0}.$$ よって点 $P$ における接線は $$\displaystyle x-x_0=\frac{y_0}{x_0}(y-y_0).$$ 両辺に $x_0$ を掛け、$x_0^2-y_0^2=2$ を用いると $$l:\quad x_0x-y_0y=2$$ となる。この導出は $y_0=0$ の場合も含み、そのとき接線は垂直線 $x=x_0$ である。

5-2 (2)　 直線 $l$ の法線ベクトルは $(x_0,-y_0)$ である。$OH$ は $l$ に垂直なので、ある実数 $t$ を用いて $$(x_1,y_1)=t(x_0,-y_0)$$ と表せる。$H$ は $l$ 上にあるから $$t(x_0^2+y_0^2)=2.$$ $x_0^2+y_0^2\ge2$ なので、 $$\displaystyle x_1=\frac{2x_0}{x_0^2+y_0^2},\qquad y_1=-\frac{2y_0}{x_0^2+y_0^2}.$$

5-2 (3)　 $s=x_0^2+y_0^2$ とおくと、$s\ge2$、$x_0^2=(s+2)/2$ である。(2)より $$\displaystyle x_1^2+y_1^2=\frac4s,\qquad x_1^2=\frac{4x_0^2}{s^2}.$$ 指定された2点 $F(1,0),F'(-1,0)$ までの距離を計算すると、 $$\displaystyle \begin{aligned} (FH\cdot F'H)^2 &=\bigl((x_1-1)^2+y_1^2\bigr)\bigl((x_1+1)^2+y_1^2\bigr)\\ &=(x_1^2+y_1^2+1)^2-4x_1^2\\ &=\left(1+\frac4s\right)^2-\frac{16x_0^2}{s^2}\\ &=\frac{(s+4)^2-8(s+2)}{s^2}=1. \end{aligned}$$ 距離の積は非負なので $FH\cdot F'H=1$ となり、$P$ の取り方によらず一定である。

5-3 (1)　 球の個数から、$X_1$ の確率分布は $$\displaystyle \begin{array}{c|ccc} x&1&2&5\\\hline P(X_1=x)&\frac12&\frac3{10}&\frac15 \end{array}$$ である。平均は $$\displaystyle E(X_1)=1\cdot\frac12+2\cdot\frac3{10}+5\cdot\frac15=\frac{21}{10}.$$ また、 $$\displaystyle E(X_1^2)=1^2\cdot\frac12+2^2\cdot\frac3{10}+5^2\cdot\frac15=\frac{67}{10}$$ なので、分散は $$\displaystyle V(X_1)=\frac{67}{10}-\left(\frac{21}{10}\right)^2=\frac{229}{100}.$$

5-3 (2)　 各回は復元抽出なので、$X_1,X_2$ は独立である。値の和ごとの組合せを数える。

$Z=2$ は $(1,1)$。

$Z=3$ は $(1,2),(2,1)$。

$Z=4$ は $(2,2)$。

$Z=6$ は $(1,5),(5,1)$。

$Z=7$ は $(2,5),(5,2)$。

$Z=10$ は $(5,5)$ の場合に限られる。独立性より $$\displaystyle \begin{array}{c|cccccc} z&2&3&4&6&7&10\\\hline P(Z=z)&\frac14&\frac3{10}&\frac9{100}&\frac15&\frac3{25}&\frac1{25} \end{array}$$ となる。特に $$\displaystyle P(Z\le4)=\frac14+\frac3{10}+\frac9{100}=\frac{16}{25}.$$

5-3 (3)　 独立な2回の抽出の差を数えると、$W$ の分布は $$\displaystyle \begin{array}{c|ccccccc} w&-4&-3&-1&0&1&3&4\\\hline P(W=w)&\frac1{10}&\frac3{50}&\frac3{20}&\frac{19}{50}&\frac3{20}&\frac3{50}&\frac1{10} \end{array}$$ である。したがって $$\displaystyle P(W\le-1)=\frac1{10}+\frac3{50}+\frac3{20}=\frac{31}{100}\le\frac{16}{25},$$ 一方、 $$\displaystyle P(W\le0)=\frac{31}{100}+\frac{19}{50}=\frac{69}{100}>\frac{16}{25}.$$ $P(W\le a)$ は $a$ が増えると減少しないため、0以上の整数はすべて条件を満たさない。よって求める最大値は $a=-1$ である。

5-3 (4)　 すべての $X_i$ は1以上である。各 $X_i$ の1からの増分は $0,1,4$ なので、和が $n+1$ になるには、ちょうど1回だけ2を取り出し、他の $n-1$ 回はすべて1を取り出す必要がある。2を取り出す位置は $n$ 通りで、各場合は互いに排反である。よって $$\displaystyle P(S=n+1)=n\cdot\frac3{10}\left(\frac12\right)^{n-1}.$$

5-4 (1)　 母平均は $$\displaystyle m=\frac{1+2+2+3}{4}=2.$$ 母分散は $$\displaystyle \sigma^2=\frac{(1-2)^2+(2-2)^2+(2-2)^2+(3-2)^2}{4}=\frac12$$ なので、母標準偏差は $\sigma=1/\sqrt2$ である。

5-4 (2)　 数字2のカード2枚も区別して数える。非復元抽出の順序付き標本は $4\cdot3=12$ 通りあり、同様に確からしい。標本平均が $3/2$ となるのは1と2のカードを選ぶ4通り、2となるのは1と3のカードを選ぶ2通りと2のカード2枚を選ぶ2通り、$5/2$ となるのは2と3のカードを選ぶ4通りである。したがって $$\displaystyle \begin{array}{c|ccc} y&\frac32&2&\frac52\\\hline P(\overline Y=y)&\frac13&\frac13&\frac13 \end{array}$$ となる。期待値は $$\displaystyle E(\overline Y)=\frac13\left(\frac32+2+\frac52\right)=2.$$ 分散と標準偏差は $$\displaystyle V(\overline Y)=\frac13\left\{\left(\frac32-2\right)^2+(2-2)^2+\left(\frac52-2\right)^2\right\}=\frac16,\qquad \sigma(\overline Y)=\frac1{\sqrt6}.$$

5-4 (3)　 復元抽出による標本平均の平均は母平均2と等しく、標準偏差は $$\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{200}}=\frac{1/\sqrt2}{\sqrt{200}}=\frac1{20}.$$ 問題の仮定により、$\overline X$ は平均2、分散 $1/400$ の正規分布で近似できる。標準正規分布の対称性と $P(Z>1.65)=0.05$ から $P(Z<-1.65)=0.05$ である。したがって、与えられた近似のもとで $$\displaystyle \frac{a-2}{1/20}=-1.65, \qquad a=2-\frac{1.65}{20}=\frac{767}{400}=1.9175.$$