3宮崎大学 2026年 数学 第3問解答・解説

(1) $n=1$ のとき $$\displaystyle 1^3=\left(\frac{1\cdot2}{2}\right)^2$$ で成立する。$n$ で成立すると仮定すると $$\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{k=1}^{n+1}k^3 &=\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2+(n+1)^3\\ &=\frac{(n+1)^2}{4}\{n^2+4(n+1)\}\\ &=\left(\frac{(n+1)(n+2)}2\right)^2. \end{aligned}$$ したがって $n+1$ でも成立し，数学的帰納法で全ての自然数 $n$ について成り立つ。

(2) $c_n=b_n+n^3$ とおくと，漸化式から $$c_{n+1}=b_{n+1}+(n+1)^3 =2b_n+2n^3=2c_n,\qquad c_1=2.$$ よって $c_n=2^n$，従って $$b_n=2^n-n^3.$$ この式を元の漸化式に代入しても $$2(2^n-n^3)+2n^3-(n+1)^3=2^{n+1}-(n+1)^3$$ となり，初項 $b_1=1$ とともに条件を満たす。

(3) $a_{n+1}-a_n=b_n$ を $k=1,\ldots,n-1$ について加えると $$\displaystyle a_n=1+\sum\limits _{k=1}^{n-1}b_k =1+\sum\limits _{k=1}^{n-1}(2^k-k^3).$$ 等比数列の和および (1) に $n-1$ を代入した式から $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n-1}2^k=2^n-2,\qquad \sum\limits _{k=1}^{n-1}k^3=\left(\frac{n(n-1)}2\right)^2.$$ したがって $$\displaystyle a_n=2^n-1-\left(\frac{n(n-1)}2\right)^2 =2^n-1-\frac{n^2(n-1)^2}{4}.$$ $n=1$ でも右辺は $1=a_1$ となる。