1宮崎大学 2026年 数学 第1問解答・解説

(1) 対数の真数条件より $x>0,y>0$ である。また $\log_9 25=\log_3 5$。 $0<x\le1$ のとき $|\log_3x|=-\log_3x$ なので、条件は $\log_3(y/x)\le\log_3 5$、すなわち $y\le5x$ となる。 $x\ge1$ のときは $|\log_3x|=\log_3x$ なので、$\log_3(xy)\le\log_3 5$、すなわち $y\le5/x$ となる。よって $$\boxed{D:\quad 0<x\le1,\ 0<y\le5x\quad\text{または}\quad x\ge1,\ 0<y\le5/x}.$$ 図の着色部分が $D$。上側の境界と点 $(1,5)$ は含むが、$x$ 軸と原点は含まない。領域は右方へ限りなく続く。

(2) 最大にする式は $\log_3\{y/(x+1)\}$。底 $3>1$ より $y/(x+1)$ を最大にすればよい。 $0<x\le1$ では $$\displaystyle \frac{y}{x+1}\le\frac{5x}{x+1}\le\frac52,$$ 最後の不等式は $2x\le x+1$ に等しく、等号は $x=1$ のときだけ成り立つ。 $x\ge1$ では $$\displaystyle \frac{y}{x+1}\le\frac5{x(x+1)}\le\frac52,$$ ここでは $x(x+1)\ge2$ を用い、等号はやはり $x=1$ のときだけである。両方で最初の等号も成り立つには $y=5$ が必要であり、点 $(1,5)$ は $D$ に含まれる。したがって $$\displaystyle \boxed{\text{最大値 }\log_3\frac52,\qquad (x,y)=(1,5)}.$$