4高知大学 2015年 数学 第4問解答・解説

(1) $a>0$ なので $a=e^{\ln a}$、従って $a^x=e^{x\ln a}$。指数関数は異なる実数に対して同じ値をとらないので、$f(x)=x\ln a$。

(2) $a\ne1$ より $\ln a\ne0$ であり、 $$\displaystyle \int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C。$$ 微分すると $a^x$ になる。

(3) $3^{|1-x|}>0$ なので両辺を割ると $$1+|y|\le3^{1-|x-1|}。$$ 左辺は1以上だから、解があるには $1-|x-1|\ge0$、すなわち $0\le x\le2$ が必要十分。この範囲で $$|y|\le3^{1-|x-1|}-1。$$ したがって境界は $$y=\pm(3^x-1)\quad(0\le x\le1),\qquad y=\pm(3^{2-x}-1)\quad(1\le x\le2)。$$ 領域は $x=1$ と $x$ 軸の両方に関して対称で、境界を含む。境界は $(0,0),(1,2),(2,0),(1,-2)$ を通る。点検図を次に示す。

(4) 対称性から $$\displaystyle S=4\int_0^1(3^x-1)\,dx=4\left(\frac{3-1}{\ln3}-1\right)=\frac8{\ln3}-4。$$

答え

(1) $f(x)=x\ln a$。 (2) $\displaystyle\int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$。 (3) $0\le x\le2$、$|y|\le3^{1-|x-1|}-1$（境界を含む）。図はTeXに添付。 (4) $\displaystyle S=\frac8{\ln3}-4$。