2高知大学 2015年 数学 第2問解答・解説

本問で $$\displaystyle S=\sum\limits _{i=1}^{n}a_i,\qquad Q=\sum\limits _{i=1}^{n}a_i^2$$ とおく。関数の式を各項に分けて展開すると $$\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{i=1}^{n}(x-a_i)^2 &=\sum\limits _{i=1}^{n}(x^2-2a_ix+a_i^2)\\ &=nx^2-2\left(\sum\limits _{i=1}^{n}a_i\right)x+\sum\limits _{i=1}^{n}a_i^2\\ &=nx^2-2Sx+Q=f(x). \end{aligned}$$ 従って $$\displaystyle f(x)=\sum\limits _{i=1}^{n}(x-a_i)^2 \tag{*}$$ が成り立つ。

(1) $n=1$ の場合、(*)は $f(x)=(x-a_1)^2\ge0$ を与える。$n=2$ の場合も $$f(x)=(x-a_1)^2+(x-a_2)^2\ge0,$$ 平方の和なので、いずれも任意の実数 $x$ について示された。

(2) 任意の正整数 $n$ と任意の実数 $x$ に対して、(*)の右辺は平方の和である。よって $f(x)\ge0$。

(3) (2)の不等式に $x=S/n$ を代入する。$n$ は正整数なのでこの値は定まる。 $$\displaystyle \begin{aligned} f\!\left(\frac Sn\right) &=n\left(\frac Sn\right)^2-2S\frac Sn+Q\\ &=Q-\frac{S^2}{n}\ge0. \end{aligned}$$ $n>0$ より $S^2\le nQ$、すなわち $$(a_1+\cdots+a_n)^2\le n(a_1^2+\cdots+a_n^2)$$ を得る。

(4) $S^2=nQ$ とする。(3)で計算した値は $f(S/n)=Q-S^2/n=0$ となる。一方、(*)より $$\displaystyle 0=f\!\left(\frac Sn\right)=\sum\limits _{i=1}^{n}\left(\frac Sn-a_i\right)^2.$$ 各項は0以上なので、この和が0であるためには各項が0でなければならない。したがって全ての $i$ について $a_i=S/n$ であり、$a_1,a_2,\ldots,a_n$ はすべて等しい。

$\displaystyle S=\sum\limits _{i=1}^{n}a_i$、$\displaystyle Q=\sum\limits _{i=1}^{n}a_i^2$ とおく。展開により $\displaystyle f(x)=\sum\limits _{i=1}^{n}(x-a_i)^2$ が任意の正整数 $n$、実数 $x$ で成り立つ。(1) $n=1,2$ ではそれぞれ1個または2個の平方の和なので $f(x)\ge0$。(2) 一般の $n$ でも平方の和だから $f(x)\ge0$。(3) $x=S/n$ を代入すると $\displaystyle f(S/n)=Q-\frac{S^2}{n}\ge0$。$n>0$ なので両辺に $n$ を掛けて $S^2\le nQ$ を得る。(4) $S^2=nQ$ なら $f(S/n)=0$。恒等式から $\displaystyle \sum\limits _{i=1}^{n}(S/n-a_i)^2=0$ であり、非負の平方の和が0なら各項が0だから $a_i=S/n$ がすべての $i$ で成り立つ。よって全ての $a_i$ は等しい。