弘前大学 2014年数学第5問解答・解説

指数関数・対数関数微分・積分の考え微分法

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1問題

弘前大学2014年度第5問

$\displaystyle f(x)=\frac{x}{2^{x}}$ とし, $f'(x)$ を $f(x)$ の導関数とする。このとき, 次の問いに答えよ。

(1) 定数 $c$ を $0 \leq c \leq 2$ とする。このとき, $0 \leq x \leq 2$ を満たす $x$ に対して, 不等式

$f (x) \leq f ^ {\prime} (c) (x - c) + f (c)$

が成り立つことを示せ。また、等号が成立するのはどのようなときか述べよ。

(2) n を自然数とする。 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ は 0 以上の実数で， $x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n} = 2$ を満たすとする。このとき，不等式

$\displaystyle f (x _ {1}) + f (x _ {2}) + \dots + f (x _ {n}) \leq n f \left(\frac {2}{n}\right)$

が成り立つことを示せ。また、等号が成立するのはどのようなときか述べよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

（1）不等式成立、等号は $x=c$ 。（2） $\displaystyle \sum\limits _{i=1}^{n}f(x_i)\le n f(\frac2n)=2^{1-\frac2n}$ 、等号は $\displaystyle x_1=\cdots=x_n=\frac2n$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$f(x)=x/2^x=xe^{-x\ln2}$ 。 $0<\ln2<1$ なので $0\le x\le2$ の範囲では $f''(x)=(\ln2)e^{-x\ln2}(x\ln2-2)<0.$ 従って、 $0\le x_1<x_2\le2$ ならば $f'(x_1)>f'(x_2)$ が成り立つ。 $0\le c\le2$ を満たす $c$ を固定して $G(x)=f(c)+f'(c)(x-c)-f(x)$ とおけば $G(c)=0,\quad G'(x)=f'(c)-f'(x)$ 。 $x<c$ では $G'<0$ 、 $x>c$ では $G'>0$ だからGはcで最小値0をとり、等号はx=cのみ。これが（1）の接線不等式。

（2）条件から各 $x_i$ は $0\le x_i\le2$ を満たす。 $\displaystyle c=\frac2n$ もこの区間にあるので（1）を各 $x_i$ に適用して加えると $\displaystyle \sum\limits _i f(x_i)\le \sum\limits _i\{f(c)+f'(c)(x_i-c)\}=nf(c)+f'(c)(2-nc)=nf(2/n)=2^{1-2/n}.$ 等号には各項の接線不等式で等号が必要で、全ての $x_i$ が $\displaystyle \frac2n$ に等しい場合に限る。

この問題で使う考え方

二階導関数と凹性
接線不等式
等号条件

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